12工科高数b1半期试题评析

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1、西南科技大学2012-2013学年第1学期《高等数学B1》半期试题评析理学院鲜大权一、填空题（每小题4分，共16分）2xx−+61、lim3=−6。x→0x−−x122xx−+6006−+解.lim33==−6。x→0x−−x1001−−y=xexdy=x2、设，则dy=e1(+x)dx。xxx解.dy=+=+edxxdee(1xdx)。y=xsinxx>sinxsinx3、设()0，则y′=x(cosx⋅lnx+)。x'sinlnxx'sinlnxx'sinlnxx1解.y==(eex)(sinln)x

2、=ex(coslnx+sin)x。xf()(3xxfxx+−−)004、设f′()x=k，则lim=4k。0x→0xf()(3xxfxx+−−)[fxxfx()(+−)]−[fxxfx(3−−)()]000000解.lim=limxx→→00xxfxxfx()(00+−)(3fx00−−xfx)()'=+=lim[3]4f()xk=4。0x→0x−3x二、选择题（每小题4分，共16分）1231、已知当x→0时，(1+−ax)1与1c−osx是等价无穷小，则常数a=(A)32A、B、C、2D、3.23122

3、31123解.∵x→0时(1+−ax)1∼ax，1cos−x∼x,∴aA=⇒()。322122311524368注:(1+=ax)1+−++axaxaxox()3981《高等数学B1》（工科类）2012-2013学年第1学期半期考试第1页共5页2、设fx()(2=−−−−x)(3x)(4x)(5x)，则fx′()0=有(B)个实根A、4B、3C、2D、1解.∵fxC()∈∈=[2,5],()fxD(2,5),(2)ff(3)=f(4)=f(5)0,=所以由Roller定理有∃∈ξ123(2,3),ξξ∈(

4、3,4),∈(4,5),stf..()ξ===f()ξξf()0,即fx′()0=有三个实根。1233、arcsinx+=arccosx(C)，(1−≤≤x1)πAx、2arcsinBx、2arccosC、D、02'11解.∵(arcsinx+=−≡arccos)xx0⇒+arcsinarccosx=C2211−−xxππ又arcsin0arccos0+=∴arcsinxx+=arccos。224、f()ln(23)x=−x的10阶导数为(D)10101010−×310!39×!31×0!−39×!A、B

5、、C、D、10101010(23)−x(23)−x(23)−x(23)−x10(101)+1010d(1)−×(3)(101)!−×−−39!×解.10ln(23)−=x10=10⇒()D。dx(23)−−x(23)xnn+1()n(1)()(1)!−−−bn注:一般地(ln(abx−=))n。()abx−三、解答题(每小题8分，共56分)2⎧xxx++≤23,01、求ab,的值，使函数fx()=⎨在(,−∞+∞)内连续、可导⎩axb+>,0x解：显然，x≠0时f()x连续、可导。因此仅需要考虑f()x在

6、x=0处的连续性和可导性。1)f()x在x=0处连续有2fx(0)=+lim(2xa+3)=+lim(xb),∴b=3------3分−+xx→→002)f()x在x=0处可导有《高等数学B1》（工科类）2012-2013学年第1学期半期考试第2页共5页2(xx++−23)3(ax+−3)3ff′′(0)==lim(0)=lim,∴a=2------5分−+−+xx→→00xx注:求a的值时不能用求左右导数法,因为在a的值未确定情况下,f()x在x=0处的可导性也是未知的,因此不能通过先求f()x在x=0

7、处的左右导数寻求a的值。但犯此错误的人最多。2dy⎧xtt=++3232、已知⎨,求y⎩etysin−+=10dxdx解：∵=+62t,---2分dty又由etysin−+=10两边对t求导有：yyy''dyecostetsinyety+−cos=0⇒=---4分ydt1s−eintdyydydtecost∴==---2分dxdx（）1s−+eyin62t（t)dt2323、求函数yxxx=−++345单调区间与极值32解：∵f′(x)=2x−6x+4=(2x−1)(x−)2∴驻点为x=,1x=2----

8、--4分12单增区间为(−∞,1)和(2,+∞)，单减区间为)2,1(------2分''''''又fx()46=−⇒xf(1)=−<20,(2)20f=>2019所以极大值为f)1(=，极小值为f)2(=。---2分33x−sinx4、求极限lim2xx→0xe(1−)1224分分xx−−sin1cosx2x2分1解：原极限===limlimlim=。322xxx→→→000xx33x6注:用Taylor级数法计算如下《高等