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1、华东理工大学线性代数作业簿（第八册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________6.1二次型及其标准型1.设矩阵A与B合同，则下述选项正确的是（）.(A)r(A)=r(B)；(B)
2、A
3、=
4、B
5、；(C)tr(A)=tr(B)；(D)A与B有相同特征值.T解：A.提示：A与B合同即存在可逆矩阵C，使得CAC=B，故r(A)=r(B).nn222．设二次型f(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)=n∑xi
6、−(∑xi),则此二次型的矩i=1i=1阵A=,二次型的秩为______,二次型的正交变换标准型为___________________.⎡n−1−1...−1⎤⎢⎥−1n−1...−1解：⎢⎥，n−1，ny22++ny⋅⋅⋅+ny2,12n−1⎢...⎥⎢⎥⎣−1−1...n−1⎦222zz++⋅⋅⋅+z.提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也12n−1是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）。因此求二次型的秩有两种方法，1)直接求二次型的矩阵A的秩，2）先求A的特征值，A有几个非零特征值（重根按重数计算），
7、二次型的秩就是几.TT3.设实二次型f(x)=xAx,其中A≠A，则二次型的矩阵为_________.1TT解：(A+A).提示：f(x)=xAx的值是一个数，即2T1TT1Tf(x)=f(x)，故有f(x)=[f(x)+f(x)]=x(A+A)x。而221T(A+A)为对称矩阵.2TT4.若n元(n>2)实二次型f()xxA=x(其中A=A)的正交变换22标准型为y−2y，则A=______，矩阵A的迹为_____.12解：0,−1.提示：A的特征值为λ=1,λ=−2,λ=...=λ=0，123nnn根据∑λi=t
8、r(A),∏λi=A易得.i=1i=12225.若二次型f(,,)5xxx=++−+−x5xcx2xx6xx6xx的123123121323秩为2，则参数c的值为_____，f(x,x,x)=1表示的曲面为123__________.解：3,椭圆柱面.提示：二次型的矩阵A的秩为2，故
9、A
10、=0，3×3由此可求得c=3。再求出A的特征值为λ=0,λ=4,λ=9，即标12322准型为f=4y+9y，由此知f(x,x,x)=1为椭圆柱面。231232226.已知二次型f(x,x,x)=2x+3x+3x+2axx（a>0）通
11、12312323222过正交变换化成标准型f=y+2y+5y，求参数a及所用的123正交变换矩阵.⎡200⎤⎢⎥2解：二次型的矩阵为A=03a，且A=2(9−a)，由⎢⎥⎢⎣0a3⎥⎦2A=λλλ即2(9−a)=10得a=2。A有三个不同的特征值1231,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出属于TTT这三个特征值的特征向量ξ=[0,1,−1],ξ=[1,0,0],ξ=[0,1,1]123⎡⎤⎢⎥⎢010⎥并把它们单位化，得正交变换矩阵为Q=⎢101⎥.⎢22⎥⎢11⎥⎢−0⎥⎣22⎦2227.已知二
12、次曲面方程x+ay+z+2bxy+2xz+2yz=4可以通过正交变换⎡x⎤⎡ξ⎤⎢⎥⎢⎥yP=η⎢⎥⎢⎥⎢⎣z⎥⎢⎦⎣ζ⎥⎦22化为椭圆柱面方程ηζ+=44。求a,b的值和正交矩阵P.⎡⎤11b⎡0⎤⎢⎥⎢⎥解:由Aba=1与B=1相似，故trA()=trB()5=，⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111⎢⎣4⎥⎦A=B=0，进而得a=3,b=1.代入后分别求出A的线性无关的TTT特征向量ξ=[1,0,−1],ξ=[1,−1,1],ξ=[1,2,1],并把它们单位123⎡111⎤⎢⎥236⎢⎥⎢−12⎥化，可得正交变换矩阵为P=0.
13、⎢36⎥⎢−111⎥⎢⎥⎣236⎦6.2正定二次型与正定矩阵1.设n阶方阵A,B都正定，则下述结论不正确的是（）.（A）A+B正定；（B）AB正定；⎛A⎞*−1（C）⎜⎜⎟⎟正定；（D）A+B正定.⎝B⎠解：B.AB未必对称，故不正定.TT2．与“实二次型f(x)=xAx（其中A=A）是正定的”等价的是______.（A）对任意x，恒有f(x)>0；（B）二次型的负惯性指数为零；T（C）存在可逆阵P，使得A=PP；（D）A的特征值均不小于零.解：C.3.若用A<0表示A为负定矩阵，则下述结论正确的是().（A）若A<
14、0，则A<0;*（B）若A<0，则A<0;T（C）若A<0，则对任意与A同阶的可逆阵C都有CAC<0;（D）若AA+++...A<0，则其中至少有一个A<0.12ni解：C.提示：根据惯性定理可知第三个选项成立.事实上,TTTTCAC<0等价于f=xCACx<0(x≠0),又等价于yAy<0(y≠0)，等价于A<0.2224.设f(x,x,x)
