上海交大04数分

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1、2004年上海交通大学数学分析a+2a+L+naa一（14）设lim12naa=，证明lim=n®¥nn®¥n22证因xn=¥2Z，故利用Stolz公式，limyn+1-yynn=lim，得nnn®¥x-xx®¥n+1nna+2a+L+na(n++1)1ana121nn+lim=lim==limlima222n+1n®¥nn®¥(n+1)-+nnnn®¥212®¥2二（14）证明sin()x在[0,+¥)上不一致连续.p22证因xnn=+2p，ynn=2p，sinxynn-=sin1，2p1xnn-y=2nnp+-

2、2p=®0，2p2nnp++2p22故sin()x在[0,+¥)上不一致连续.三（14）设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)＝f(2a)，证明$xÎ[0,a]，使0f(x)＝f(x+a)00证作g(x)=f(x+-a)fx()（xaÎ[0,]），则gx()在[0,a]上连续，因f(0)＝f(2a)，故g(2ag)=-(0)，情形1若g(0)0=，则取x=0，则f(x)＝f(x+a)，0002情形2若g(0)0¹，则因g(2)agg(0)=-<(0)0，故由介值定理知，存在xaÎ[0,]，使得gx()0=，即f

3、(x)＝f(x+a).00002æpö四（14）证明不等式x＜sinx＜x，xÎç0,÷pè2øsinxæöp证作fx()=，xÎç÷0,，则因xèø2xcosx-sinxxcosf¢(x)==(xx-

4、)=ax®+¥0.证因f(x)在[a,+¥)上一致连续，故">e0，$>d0，使得当et,,taÎ[+¥)且tt-时，fx()<.n2取XaN=+d

5、，则当xX>时，因¥xÎ[a,¥)=U[a+(k-+1),ddak)k=0+故存在惟一的k΢，使得xaÎ+[(k-+1),ddak)，易见kN>，且xx-

6、=+ln(1)，因SS2nn+12=+，故只要证nxnknnnk-1éù11éù11Sx2nk=åå(-=1)êú-+ln(1)=

7、+åêú22o()收敛即可.kk==11ëûkkk=1ëû2kk七（14）设nf(x)在[0,1]上连续，f(1)=0,g(x)=f(x)x，n=1,2,L，n证明{g(x)}在[0,1]上一致收敛.n1n八（12）设fx()在[0,1]上连续，证明limnòxf(xx)d＝f(1).n®¥01111nnnn证（1）（令tx=，则nòxf(xx)d=òtf(tt)d，00（2）因fx()在[0,1]上连续，故$>M0，使得f()xM£，xÎ[0,1]，（3）e">e0，记a=，不妨设01<

8、eòtfn(tn)dt£òòtnnf(tt)dd£Mt==Ma，0003111111111（4）òtfn(tn)dt-f(1)=òò[tfn(tftn)-(1)]d£-tfnn(tft)(1)daaa11111=òtfn(tn)-+-tnnf(1)tfft(1)(1)da1111£òòf(tfnn)-(1)dt+-ftt(1)1daa（5）因fx()在[0,1]上连续，故fx()在[0,1]上一致连续，故对上述的正数e，$>d0，当xx,Î[0,1]且xx-

9、*e（6）因lim1an=，记ed=min{,}，则存在正整数N，使得当n®¥3Ma(1)-1n*nN>时，有a-<1e，111（7）当taÎ(,1)时，有tn-1=11-tann£-，从而当nN>时，有1111eeòòf(tfnn)-(1)dt+ftt(1)-1d<+aa33（8）由（3）和（7）知，当nN>时，有1111111a1ee2òtfnn(t)d