张伟线考研性代数001

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1、线性代数六大类考点线性代数•行列式•矩阵•向量•方程组张伟•特征值和特征向量zwpku@126.com•二次型2011-7-15第一讲行列式2行列式部分重要考查知识点•行列式的定义第一讲行列式•行列式按行（列）展开•行列式的性质•行列式的计算•证明

2、A

3、＝0•行列式的应用2011-7-15第一讲行列式32011-7-15第一讲行列式41行列式的定义行列式按行（列）展开•二阶与三阶行列式•行列式按行（列）展开定理•行列式定义2011-7-15第一讲行列式52011-7-15第一讲行列式6行列式的性质数值型行列式的重要公式与结论•经转置以后行列式的

4、值不变。•某行有公因数k，可把k提取到行列式之•上（下）三角行列式外。•两行互换，行列式变号。•拉普拉斯展开式•某行的k倍加至另外一行，行列式的值不变。•某行的所有元素都可以写成两个数的和，•范德蒙行列式则该行列式可以写成两个行列式的和。2011-7-15第一讲行列式72011-7-15第一讲行列式82例1.2例1.1abcda00b222211abcd=.3333abcd0ab022b+c+da+c+da+b+da+b+c=0ba033b00a442011-7-15第一讲行列式92011-7-15第一讲行列式10例1.4例1.3x−2x−1x

5、−2x−3a+xaaa12342x−22x−12x−22x−3设f(x)=,−xx003x−33x−24x−53x−5=4x4x−35x−74x−30−xx0则方程f(x)=0的根的个数为00−xx2011-7-15第一讲行列式112011-7-15第一讲行列式123例1.5例1.61111cba01200=001−a1030=010−b1004100−c2011-7-15第一讲行列式132011-7-15第一讲行列式14例1.7例1.8xaa?aa1+xa2a3?anaa+xa?aaxa?a123naaa+x?a=123naax?a=????

6、??????a1a2a3?an+xaaa?x2011-7-15第一讲行列式152011-7-15第一讲行列式164例1.9例1.10⎛2a1⎞⎜⎟1a0?021⎜a2a1⎟01a?0⎜a22a1⎟2设A=⎜⎟⎜BBB⎟@@@@=.⎜2⎟a2a1⎜⎟⎜2⎟000?a⎝a2a⎠n−1()n是n阶矩阵,证明:A=n+1a.a00?1n2011-7-15第一讲行列式172011-7-15第一讲行列式18例1.11例1.12λ-21-1λ-3-9-6若1λ-41=0，则λ=若-1λ-3-2=0，则λ=-11λ-2-2-6λ-42011-7-15第一讲行列

7、式192011-7-15第一讲行列式205抽象型行列式的计算例1.13•重要公式,,,,为4维列向量，αβγγγn1231)A是n阶矩阵，则

8、kA

9、=k

10、A

11、2)若A、B均为n阶矩阵，则

12、AB︱=

13、A

14、

15、B

16、A=α,γ,γ,γ=4,1233)若A是n阶矩阵，则

17、A*

18、=

19、A

20、n-14)若A是n阶可逆矩阵,则

21、A-1

22、=

23、A

24、-1B=,,,=−3,βγγγ1235)若λ,λ,……λ是矩阵A的n个特征值，12n则

25、A

26、=λ1λ2……λn.则A+2B=.6)若A~B，则

27、A

28、=

29、B

30、2011-7-15第一讲行列式212011-7-15第一讲行列式22

31、例1.14⎛⎜210⎞⎟例1.15设矩阵A＝⎜120⎟，已知A为4阶矩阵,3E−A、⎜⎟⎝001⎠A−E、A+2E均不可逆,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,且A的主对角线元素之和为4,求A.其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B=2011-7-15第一讲行列式232011-7-15第一讲行列式246例1.17例1.16设A为3阶矩阵，α，α，α为线性123已知A为3阶矩阵,A、无关的3维列向量，且Aα=α+α，112A+E、A+2E均不可逆,Aα=α+α，Aα=α+α，则223331TA是A的转置矩阵,则A=T−12(A+3E)(3E−A

32、)(9E−A)=2011-7-15第一讲行列式252011-7-15第一讲行列式26例1.18设α，α，α为3维列向量，123代数余子式A=(α,α,α),123B=(α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3)(1)代数余子式的定义已知A=1，则B=(2)代数余子式的性质2011-7-15第一讲行列式272011-7-15第一讲行列式287例1.19证明A=02354(1)Ax=0有非零解1−11−1−1A=(2)反证法，利用A找矛盾3572(3)r(A)

33、=−A(2)第4行元素余子式的和2011-7-15第一讲行列式292011-7-15第一讲行列式30例1.20例1.212设A为m×n矩阵，B为n×m