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1、2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、已知lim匚心=3,则常数a,b的取值分别为XT2X-2(A)A、a=—1,h=—2B、a=—2,b=0C、a=—1,b=0D、a=_2,b=-2、已知函数，贝臥=2为/⑴的Bjc_4A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、震荡间断点fo,x<03、设函数f（x）=…1。在点兀=0处可导，则常数"的取值范围xsin—,x>U为(C)A、Q1D、a>14、曲线2兀+1的渐近线的条数为
2、y—o口j(—IF(B)A、1B、2C、3D、45、设F（兀）=ln（3兀+1）是函数/（劝的一个原函数，贝叮八2兀+1加=A、1+C6x+43+C12兀+8B、3+C6兀+4C、1+C12兀+8D、6、设a为非零常数，则数项级8数E/?=!n+an2(C)A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性与"有关二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、已知lim（—-—Y=2,则常数C二_In2・fx-C—8、设函数（p{x）=^teldt,则cp（x）=—4x戶9、已知向量«=(1,0,-1),6=(1,-2,1),则
3、Q+方与a的夹角为■310>设函数z=z(x,y)由方程xz2+yz=所确定，则半=0X2xz+y11>若幕函数yV（^>«）的收敛半径为丄，则常数zTin-2212>微分方程(1+x2)ydx-(2-y)xdy=0的通解为lnN+
4、x2=21ny-y+C三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限：lim5x-sinx解答：lim」一=恤丄匚=6罗必塔法则，等价代换dx-sinxxto1一cosx14、设函数")3由参数方程卩二吨+‘)所确定，，求字，噢.「[y=厂+2/-3dxdx^解答：dx=-^—dt
5、,dy二⑵+2)df,©二旦竺世=2(/+1)?,1+(心丄力1+r〃?=临=笛如=40+1)2二阶导数dxdx_Ldt1+r15、求不定积分：jsinV2x+kZx・/f2.解答：令丿2兀+1=t,x=——2costdtjsinJ2x+dx=jsinZ•tdt=-jtdcost=-tcost+=-tcos/+sin/+C=-/2x+1cos』2x+1+sinV27TT+C换元积分法，分部积分法16、求定积分:解答：令兀二V^sin&,当兀=0,&=0;当x=l,&二兰.4:音心i謡f%1心处(一訥2。)1-2-乃-4-7r一
6、40几何代换”、求通过直纟垮宁二千且垂直于平面宀+z+2“的平面方程.解答：已知直线的方向向量为几=(3,2,1),平面的法向量为/io=(l,l,l)・由题意，所求平面的法向量可取为ijkm=50xh0=(3,2,1)x(1,1,1)=321=(1,-2,1).又显然点(0,1,2)在所求平111面上,故所求平面方程为1(兀一1)+(—2)(y_l)+l(z_2)=0,即x-2y+z=0.18、计算二重积分JJyda,其中£>={(%,y)
7、02}.Djjyd(J=
8、
9、p2sin&dpd&=J]
10、sin&d&DD41心JJ(8csc2^-2V2sin&)d&"234=g(-8cot0+2V2cos0)兀二2兀419>设函数z=/(sinx,xy),其中/G）具有二阶连续偏导数，求冀dxdy解答：刍=/；•COSx+X・y;dx釜"+5忆+皿20、求微分方程=x的通解.解答:积分因子为心）」却=严〜丄.化简原方程兀）广=2y+x?为字_21=兀.axx在方程两边同乘以积分因子丄，得到刍一卑显2xdxx'x化简得：空卫=丄dxx等式两边积分得到通解J年辿=-dx.dxx故通解为y=x2ln
11、x
12、+x2C四、综合题(本大题共2
13、小题，每小题10分，满分20分)21＞已知函数/(x)=x3-3x+l,试求：(1)函数/⑴的单调区间与极值;(2)曲线y=/(x)的凹凸区间与拐点；(3)函数/(%)在闭区间［-2,3］上的最大值与最小值.解答：(1)函数/(兀)的定义域为/?,/'(x)=3x2-3,令/(x)=0得兀=±1,函数兀兀)的单调增区间为(—,-1］,［l,4-oo),单调减区间为［-1,1］,极大值为/(-1)=3,极小值为/(1)=-1・(2)f(兀)=6兀,令厂(兀)=0,得兀=0,曲线y=/(x)在(-8,0］上是凸的，在［0,+oo)上是
14、凹的，点(0,1)为拐点.(3)由于/(-1)=3,/⑴=-1,/⑶=19,故函数/(x)在闭区间［-2,3］上的最大值为/⑶=19,最小值为/(I)=/(-2)=-1.22、设。是由抛物线尸2,和直线“°,尸0所围成的平面区域，Q是由抛物线y=2
