奥数中的数图形个数

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1、.第三讲数数与计数(二)  例1数一数,图3-1中共有多少点?  解:(1)方法1:如图3-2所示从上往下一层一层数:  第一层1个  第二层2个  第三层3个  第四层4个  第五层5个  第六层6个  第七层7个  第八层8个  第九层9个  第十层10个..  第十一层9个  第十二层8个  第十三层7个  第十四层6个  第十五层5个  第十六层4个  第十七层3个  第十八层2个  第十九层1个  总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1  =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+

2、10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)  =55+45=100(利用已学过的知识计算).  (2)方法2:如图3-3所示:从上往下,沿折线数  第一层1个  第二层3个  第三层5个  第四层7个  第五层9个..  第六层11个  第七层13个  第八层15个  第九层17个  第十层19个  总数:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(利用已学过的知识计算).  (3)方法3:把点群的整体转个角度,成为如图3-4所示的样子,变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100(个).  想一想

3、:  ①数数与计数,有时有不同的方法,需要多动脑筋.  ②由方法1和方法3得出下式:  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10  即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想:  1=1×1  1+2+1=2×2  1+2+3+2+1=3×3  1+2+3+4+3+2+1=4×4  1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5..  1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6  1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7  1+2+3+4+5+6

4、+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8  1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9  1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10  这样的等式还可以一直写下去,能写出很多很多.  同学们可以自己检验一下,看是否正确,如果正确我们就发现了一条规律.  ③由方法2和方法3也可以得出下式:  1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.  即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:  1+3=2×2  1+3+5=3

5、×3  1+3+5+7=4×4  1+3+5+7+9=5×5  1+3+5+7+9+11=6×6  1+3+5+7+9+11+13=7×7  1+3+5+7+9+11+13+15=8×8  1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9  1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10  还可往下一直写下去,同学们自己检验一下,看是否正确,如果正确,我们就又发现了一条规律.  例2数一数,图3-5中有多少条线段?..  解:(1)我们已知,两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有:  ABACADAE

6、AF5条.  以B点为共同左端点的线段有:  BCBDBEBF4条.  以C点为共同左端点的线段有:  CDCECF3条.  以D点为共同左端点的线段有:  DEDF2条.  以E点为共同左端点的线段有:  EF1条.  总数5+4+3+2+1=15条.  (2)用图示法更为直观明了.见图3-6.  总数5+4+3+2+1=15(条).  想一想:①由例2可知,一条大线段上有六个点,就有:总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律(见图3-7):..  还可以一直做下去.总之,线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和,其中最

7、大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.  ②上面的事实也可以这样说:如果把相邻两点间的线段叫做基本线段,那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是:  线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本线段的条数(见图3-8).基本线段数线段总条数  还可以一直写下去,同学们可以自己试试看.  例3数一数,图3-9中共有多少个锐角?  解:(1)我们知道,图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.  所以,以OA边为公共边的锐角有:  ∠LAOB,∠AOC,∠AO

8、D,∠AOE,  ∠AOF共5个.  以OB边为公共边的锐角有:∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠BOF共4个...  以OC边为公共边的锐角有:∠COD,∠COE,∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有:∠DOE,∠DOF共2个.以OE边为一边的

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