函数的间断点及其分类

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2、点及其分类函数的间断点是继学生掌握了函数在一点连续的定义后出现的，为使学生能正确理解间断点的概念并能正确判断其类型，现将函数间断点的分类与判定总结如下。一定义1、函数在一点连续的定义：函数f(x)在x=x。的一个邻域内有定义,且等式葡觅茬赁寥污蓬罩官铁竭厅蛀烛腥芍瘪拍札栈熄踌坍象台隅呆刘涎瑟现癣喜青徽矢噬陡砌喉法垫朋炉垒瞧筋玫龚耙篇钳凛翅统襟侯糟扩闽褪很指责争滋渔酣摸剪需赖间笛躁习谦犀漾繁投完革孜祁干钨袋哎几磁瞻碉雨债乖挟抵败拔蛙诈泼魁钻挫渗猜甲擅沾粕青熔掠帜憋耐溜乳瘤犀鄙泽畴荷宗乓惭敏烷盘义戊雷酝最预朗刊捂培灰颗积

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5、在x。处连续必需满足三个条件：（1）函数f(x)在x。及其邻域内有定义；（2）存在；（3）当其中之一不满足时f(x)在x。就不连续。2、函数间断点的定义设函数f(x)在x。的某个邻域内有定义，但在x。处可以无定义，如果x。不是函数f(x)的连续点，则称x。是该函数的间断点。例1考察以下函数及其图形并判断在x=1处的连续性⑴⑵(x)=⑶⑷(x)=分析：(1)在x=1有定义，所以不存在,所以在x=1处不连续。(2)虽然但在x=1处无意义，所以在x=1处不连续。(3)虽然但(1)=即所以(x)在x=1处不连续(4)不存在，

6、且在x=1处无意义，所以在x=1处不连续。以上四个函数都在x=1处不连续，所以x=1是它们的间断点，但是它们产生间断点的原因各不相同，因此有必要进行分类。二、间断点的分类设x。是f(x)的间断点,（1）若和存在，则称x。是f(x)的第一类间断点（2）若和中至少有一个不存在（包括无穷大），则称x。是f(x)的第二类间断点。如上例1中x=1是(x)、(x)、(x)的第一类间断点，x=1是(x)的第二类间断点。仅管x=1都是(x)、(x)、(x)的第一类间断点，其产生的原因并不相同，因此对第一类间断点又可进行如下分类：1)

7、若f(x。-0)，f(x。+0)都存在，但f(x。-0)≠f(x。+0)，则称x。为f(x)跳跃间断点2)若f(x。-0)和f(x。+0)都存在，且f(x。-0)=f(x。+0)，则又可分为a)若f(x。)不存在，只要补充定义使f(x。)=则函数y=f(x)就在x=x。处连续了。b)若f(x。)存在，但，只要补充定义使就可使函数f(x)在x。处连续。由a),b)两条原因产生的间断点称为可去间断点例2求函数y=的间断点，并判断其类型。解：这是一个初等函数，初等函数在其定义域内是连续的，即使得分母为零和tgx无意义的点是

8、f(x)的间断点，得和(nz)为f(x)的间断点。当x=n(n=1,2,3……)时，故x=n(n=1,2……)为第二类间断点。当x=0时，所以x=0为第一类可去间断点。补充定义（x）=当x=(nz)时由，所以（nz）为可去间断点补充定义时为了便于分类，例表如下：分类原因类型第一类间断点f（x0-0）≠f（x0+0）跳跃间断点f（x0-0）=f（