《实数》知识归纳

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1、实数一、本章知识结构无理数的表示算术平方根平方根立方根实数的有关概念及应用概念分类绝对值、相反数实数与数轴上点的对应实数的运算和大小比较实数二、基础知识1．算术平方根。（1）定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为，读作“根号a”,a叫做被开方数。（2）规定：0的算术平方根是0（3）性质：算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根本身是非负数，即≥0。也就是说，任何正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是（0），负数没有算术平方根。2．平方

2、根（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根或二次方根（2）非负数a的平方根的表示方法:（3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。0只有一个平方根，它是0。负数没有平方根。说明：平方根有三种表示形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：≠±。3.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同算术平方根要求是正数②个数不同平方根有2个，算术平方根1个③表示方法不同：算术平方根为，平方根为±联系：①具有

3、包含关系：②存在条件相同：③0的平方根和算术平方根都是0。4．a2的算术平方根的性质a(a≥0)=│a│=-a(a<0)从算术平方根的定义可得：=a(a≥0)5．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（2）数a的立方根的表示方法:（3）互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数（4）两个重要的公式6．开方运算：（1）定义：①开平方运算：求一个数a的平方根的运算叫做开平方。②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方（2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相

4、互检验。7．无理数的定义无限不循环小数叫做无理数8．有理数与无理数的区别有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。9.常见的无理数类型（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。（3）有特定意义的数，如：π=3.14159

5、265···(4)开方开不尽的数。如：。10．实数（1）概念：有理数和无理数统称为实数。（2）分类按定义正整数整数0负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数按大小正实数实数零负实数(3)实数的有关性质①a与b互为相反数〈=〉a+b=0②a与b互为倒数〈=〉ab=1③任何实数的绝对值都是非负数，即≥0④互为相反数的两个数的绝对值相等,即=⑤正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.⑥一个正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝

6、对值是0（4）实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系实数的大小比较在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数大于零；零大于负数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。（5）实数中的非负数及其性质在实数范围内，正数和零统称为非负数我们已经学过的非负数有如下三种形式①任何一个实数a的绝对值是非负数，即≥0②任何一个实数的平方是非负数，即≥0；③任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即≥0非负数有以下性质①非负数有最小值零②有限个非负数之和仍然是非负数③几个非负数之和等于

7、0，则每个非负数都等于0。