周期与非周期振动

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1、第2章单自由度系统机械工程学院王文瑞博士，副教授gmbitwrw@ustb.edu.cn2.6周期强迫振动2.7非周期强迫振动2.6周期强迫振动模型简化依据：非简谐的周期激励在工程结构中的振动中大量存在，一般地，如果周期激励中的某一谐波的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐激励；反之，则周期激励。求解方法：一般周期激励下系统的响应问题需要将激励展开为Fourier级数，分别求出各个谐波引起的响应，再利用叠加原理得到系统的响应。周期函数展开为傅立叶级数的物理意义:把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同频率的简谐激励的叠加。Fourier级数定理：设周期为T的周期函数f(t

2、)满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为其中系数利用三角函数的正交性求出：周期激励函数一般都满足收敛定理的条件，都可以展开为如下形式的傅立叶级数：其中谐波分析频率称为基本频率，简称基频；对应于基频的简谐分量，称为基波；对应于频率为，的简谐分量称为二次谐波，三次谐波，等等。谐波分析法基本思想：首先，将周期激励分解为一系列简谐激励之和。然后，求出系统对各个简谐激励的响应。最后，由线性系统的叠加原理，将每个响应叠加起来。即得到系统对周期激励的响应。周期激励的处理将f(t)展成Fourier级数：其中的第p项为：对应的响应为：求解振系在简谐激励与分别作用下,相应的强迫振动可依次表

3、示为组集总响应根据线性系统的叠加原理结论系统的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应，这是线性系统的特点。在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式来减振。实例例1无阻尼单自由度系统受如图所示的周期方波激励。试求系统的稳态响应。解：周期方波激励的数学描述为式中T为周期。将F(t)展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为则周期方波表示的傅里叶级数为求得响应为例2图示凸轮使顶杆D沿水平线作周期锯齿波形运动，通过弹簧k1使振动系

4、统有强迫振动。已知凸轮升程为2cm，转速为60r/min,k1=k=10N/cm,c=0.5N·s/cm,m=1/20kg。试求振动系统的稳态振动。解：顶杆D的运动方程为图3.7-2激振频率为1Hz，即T=1s，=2。将激励x1展开成傅里叶级数为傅里叶级数的系数为得x1的傅里叶级数为振动系统的运动微分方程为令则对应于激励的j次谐频，振动系统的稳态运动为对应于常数项k1，振动系统的响应为因此，在凸轮运动的作用下，振动系统的稳态运动为由给出的数据，有因此，得作业:无阻尼弹簧质量系统受到如图所示的力，试求系统的响应解：激励力可表示为2.7非周期激励作用下的强迫振动非周期激励作用的

5、特点作用时间短峰值大非周期强迫振动求解瞬态激励周期激励与响应的特点前面章节讨论的激励力，无论是外界力或是支座的位移，我们都假定其函数要么为简谐，要么可以通过Fourier级数展成一系列简谐函数的和。振动系统对周期激励的响应通常指系统的稳态强迫振动响应，是按照激励频率（可以是单一的，亦可以是一系列）进行的周期振动。非周期激励的特点在许多实际问题中，对振动系统的激励往往不是周期的，而是任意的时间函数，或者只是持续时间很短（相对于振动系统固有周期）的冲击。举例：车辆越障，瞬时冲击非周期激励响应的特点相应地，瞬态激励引起的系统振动响应持续时间也不长，但响应的峰值往往很大，使结构产生较大

6、应力和变形。振动系统通常没有稳态运动，只有瞬态振动在激励消失后，振动系统进行阻尼自由振动，即所谓的剩余振动。振动系统在任意激励下的运动，包括剩余振动，称为振动系统对任意激励的响应。非周期强迫振动求解（时域法）——脉冲响应函数法解决问题的思路：把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的脉冲分力的叠加；在脉冲力作用下的响应—应用动量定理；总响应—叠加原理。脉冲力定义如果F(t)的幅值很大，但作用时间很短，即，那么如果冲量：仍然为通常的数量级，这种力称为脉冲力。通常硬物体之间的碰撞力、闪电、电容瞬间的放电（照相机的闪光灯）都具有脉冲力的类似性质。状态描述如果F(t)的作用时间为(，

7、)(为任意非负实数)，即当t>和t<时，F(t)=0，在这过程中，动量的改变量：上式的物理含义：物体所受的冲量等于物体动量的改变量。这种描述成为状态描述。Dirac函数一般，我们对脉冲力的作用过程不太关心，而关心它产生的后果。为了能在理论分析中更好的体现脉冲力的性质，在数学上用Dirac函数来表示脉冲力，通常又称作函数任意时刻脉冲力的表示在时刻的脉冲力可以表示为：利用函数，在任意时刻作用的脉冲力可以表示为：这里：是一个常数，上式的物理意义：在时刻的一个力值无限大，但作用时间为