《离散小波变换》PPT课件

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1、第三章离散小波变换3.1尺度和位移的离散化方法对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。本章主要内容尺度和位移的离散化方法小波框架理论二进小波变换3.1尺度和位移的离散化方法为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数的a、τ限定在一些离散的点上取值。离散化方法（1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取离散化方法（2）位移离散化。通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴，τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿τ轴的响应采样间隔是2jτ0，在a0=2情况下，j增

2、加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。因此在尺度j下，由于的宽度是的倍，因此采样间隔可扩大，而不会引起信息的丢失。可写成：离散小波变换的定义为：一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ=2jτ0当a=2j时，τ的采样间隔是2jτ0，此时，变为：一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：此时，对应的WTf为：离散化过程中的两个问题一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。二、是否任何函数f(t)都可以表示为以为单位的加权和。即如果可以，系数如何求？3.2小波的框架理论3.2.1框架1框架的定义在希尔伯特空间H中有一

3、族函数，如果存在0

4、：设有满足下列要求：便意味着，也就是要求是一组线性独立族。则称为一组Riesz基。3.2.2小波框架1.小波框架的定义：如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移引出的函数族具有如下性质：我们称都成了一个框架，上式为小波框架条件。其频域表示为：的对偶函数也构成一个框架。2.小波框架的性质（1）满足框架条件的，其基本小波必定满足容许性条件。（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。（3）离散小波框架存在冗余性。3.离散小波变换的逆变换如果离散小波序列构成一个框架，上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：当时，但二者比较接近时，作为一阶逼近，可取所以重建公

5、式近似于：同样，A和B越接近，误差就越小。在紧框架情况下，点的WT为：将f(t)代入上式有：式中3.3二进小波变换二进小波的表示形式。3.3.1二进小波变换及其逆变换令小波函数为，其傅立叶变换为，若存在常数A，B，当，使得此时，才是一个二进小波，上式为二进小波的稳定性条件。定义函数的二进小波变换系数为：其中：设的傅立叶变换为，由卷积定理得：对，总有关系式：此式说明二进小波构成了的一个框架，所以它的小波逆变换公式是存在的。二进小波的重建公式为：3.3.2二进小波的性质（1）二进小波满足小波母函数容许性条件，即二进小波必为基本小波。（2）二进小波是冗余的。由框架理论知：当不满足A=B=1时

6、，框架是冗余的，也就是二进变换系数之间具有一定的相关性。二进变换系数之间的关系满足重建核方程。由重建核方程，可知，不是任意函数序列都可以作为某一函数的二进小波变换，只有当它们都满足重建核方程时，才能看做某一函数的二进小波变换。（3）二进小波具有时移性。f(t)平移的二进小波变换等于它的二进小波变换的平移。论证3.3.3二进正交小波设，且满足我们称为二进正交小波变换，尺度参数核平移参数按离散化，二进正交小波为：