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1、2021/9/71第三章高阶谱估计3.1累积量及高阶谱3.2高阶谱估计3.3有色噪声背景下的频率估计3.4高阶谱的应用2021/9/723.1.1、累积量的定义1、随机变量的特征函数和矩函数为的第一特征函数。其中为概率密度函数3.1累积量与高阶谱2021/9/73第二特征函数：随机变量的特征函数由于2021/9/74高斯分布的随机变量特征函数其特征函数为:2021/9/75令则根据公式：则2021/9/761、矩函数的定义2021/9/772、累积量的定义对于随机矢量其阶数为的累量为2021/9/
2、78当时,其n阶累量可记为:2021/9/79对于零均值随机变量,三阶以下的矩与累量相等,而(M-C公式):3.高阶矩与高阶累量的关系2021/9/7104、平稳随机过程的累量对于零均值实平稳随机过程{x(n)},其k阶矩(k阶相关函数)和k阶累量分别为:2021/9/711为方差为斜度为峭度当时,特别称2021/9/7125、高斯过程的累积量单个高斯随机变量维零均值高斯随机矢量2021/9/713其方差矩阵为其中令联合概率密度函数为高斯随机矢量5、高斯过程的累积量2021/9/714则特征函数为
3、：显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。5、高斯过程的累积量2021/9/715对于任何高斯随机过程{x(n)}的阶次高于二的k阶累量恒等于零，即这是高阶累量作为数学工具，抑制高斯噪声的基础结论2021/9/716高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩,也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息.与某一高斯过程具有相同二阶矩的任意随机过程,其k>2的高阶累量是衡量该过程偏离高斯分布的量度.2021/9/717常量乘积的线性各随机变量的对称性3.1.2、累量的性质202
4、1/9/718累量的性质此性质说明:两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和.所以,非高斯信号与独立高斯噪声之和的k(k>2)阶累量就等于信号的累量.即累量可抑制高斯噪声.若{x}和{y}统计独立,则2021/9/719累量的性质设有一组线性独立的随机变量和随机变量y，且有：，则y的k阶累积量为：其中是随机变量的k阶累积量，i=1，2，…，P.2021/9/720两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零.即若{x}与{y}统计独立,则累量的性质2021/9/721推论:如果{w(t)}是独立
5、同分布随机过程(I.I.d),则其累量为δ函数.即式中，为常量。所以IID过程{w(t)}又称广义白噪声过程2021/9/722归一化累积量在盲解卷积中，有时希望累积量与信号的幅度无关，即W和aW的累积量是一样的，a是非零常数。此时就要定义(p，q)阶的归一化累积量：其中不为零。通常阶数p、q取为p>q。一般取q=2，这时。当采用归一化累积量时，显然有成立，即归一化累积量与信号的幅度无关。2021/9/7233.1.3、高阶谱1、定义：假定随机过程{x(n)}的k阶累量是绝对可和的，则其k阶谱是k
6、阶累量的(k-1)维傅里叶变換，即2021/9/724当k=3时,三阶谱(双谱),并记为：四阶谱(三谱)：高阶谱的逆变換公式为：2021/9/725①高斯过程的k>2的k阶谱恒为零；②非高斯的、广义白噪声过程(I.I.d.)的高阶谱为平坦谱，即(常数)两种特殊的高阶谱：2021/9/7262、高阶谱的性质:高阶谱一般为复函数,即可表示相位信息2021/9/727高阶谱是以2π为周期的多维周期函数,即包含全部信息的主值周期,一般指下述区域:2、高阶谱的性质:2021/9/728高阶谱具有对称性(源于
7、累量的对称性),以双谱为例此外,对于实信号还应满足共轭对称性,即2、高阶谱的性质:2021/9/729所以,双谱共有12个对称区域(如图所示)2021/9/730综合考虑周期性与对称性,双谱的主值区域为:2021/9/7312021/9/7323.2高阶谱估计从己知一段样本序列{x(1),x(2),…….,x(N)}出发,进行高阶谱估计的方法,与功率谱估计类似,也可分为非参数法和参数法两大类。3.2.1、非参数法谱估计1、基本思路：假定n<=0或n>=N+1范围内,样本值x(n)=0,由高阶谱的定
8、义直接构造谱估计式。2021/9/7332、优缺点：非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用FFT算法。但与功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题：频谱泄漏：平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列，在非参数法高阶谱估计中假定n<=0或n>=N+1时x(n)恒等于零，必将导致矩函数的估计结果被“截尾”，与传统的功率谱估计方法类似，这将在所估计的高阶谱中产生“频谱泄漏”。为改善高阶谱估计的性能，减少“频谱泄漏”，必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理。2021/9/7
