一类约束矩阵最小二乘问题的理论与算法

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1、学校代号10532学号S150600500分类号密级公开硕士学位论文一类约束矩阵最小二乘问题的理论与算法学位申请人姓名常璐培养单位数学与计量经济学院导师姓名及职称廖安平教授学科专业计算数学研究方向数值代数论文提交日期2018年06月19日学校代号10532学号S150600500密级公开湖南大学硕士学位论文一类约束矩阵最小二乘问题的理论与算法学位申请人姓名:常璐导师姓名及职称:廖安平教授培养单位:数学与计量经济学院专业名称:计算数学论文提交日期:2018年06月19日论文答辩日期:2018年05月25日答

2、辩委员会主席:白敏茹教授TheTheoryandAlgorithmsforaClassofConstrainedMatrixLeastSquaresProblemsbyChangLuB.S.(XiangtanUniversity)2015AthesissubmittedinpartialsatisfactionoftheRequirementsforthedegreeofMasterofScienceinNumericalalgebraintheGraduateSchoolofHunanUniversit

3、ySupervisorProfessorLiaoAnpingMay,2018湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论

4、文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密，在年解密后适用本授权书。2、不保密。(请在以上相应方框内打“X”)作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日I一类约束矩阵最小二乘问题的理论与算法摘要最小二乘问题是数值代数领域的经典研究课题之一，求解最小二乘问题的理论与算法在结构设计、参数识别、振动理论以及线性最优控制等领域均有广泛应用。本篇硕士论文主要研究

5、一类非负约束下的矩阵最小二乘问题，该问题主要是用于处理来源于医学图像重建，放射治疗中的逆问题以及计算分离超平面等理论与实际应用问题中的不相容线性不等式组。这类非负约束最小二乘问题的解是相应线性不等式组在最小二乘意义下的最佳逼近解，特别当该最小二乘问题的目标函数值为零时，表明相应的线性不等式组是相容的。尽管这一类非负约束最小二乘问题的目标函数为凸函数，而且相应的梯度是全局Lipschitz连续的，但是与经典的非负约束最小二乘问题（NNLS）不同，该问题的解可能不唯一，而且其目标函数的二阶Jacobi矩阵不存

6、在。因此不能直接利用求解凸优化问题的二阶方法直接求解这一类非负约束最小二乘问题。由于这类非负约束最小二乘问题的目标函数是半光滑的，因此可以尝试利用半光滑牛顿法的思想求解这类非负约束最小二乘问题。本篇硕士论文基于罚函数方法，将该非负约束最小二乘问题转化为一类无约束的凸优化问题，在此基础上，利用基于广义Jacobi的修正牛顿法进行求解，并给出了相应算法的收敛性证明。为了保证解的非负性和广义Jacobi矩阵的正定性，该方法需要引入较大的罚参数和较小的修正因子，这可能导致数值算法的不稳定性。为此，本篇硕士论文将深

7、入研究该类非负约束最小二乘问题的解的特征，利用Hilbert空间中经典的最佳逼近定理和极分解定理给出该类非负约束最小二乘问题解的充分必要条件。在现有研究的基础上，本文还将提出求解该问题的精确固定矩阵迭代方法。由于精确固定矩阵迭代方法的每一步都需要求一个经典的非负约束最小二乘子问题（NNLS）的精确解，因此该方法的计算量大，不适合求解规模较大的问题，从而本文将基于Armijo搜索条件，提出相应的不精确迭代方法，并分别给出精确和不精确矩阵迭代方法的收敛性证明。当迭代的逼近解接近于这类非负约束最小二乘问题的真解

8、时，本文提出的精确与不精确固定矩阵迭代方法不能保证相应迭代解的目标函数值具有足够的下降量，因此本文还将讨论关于精确与不精确固定矩阵迭代方法的积极集策略。通过不断更新迭代解对应的积极集，将原问题转化为一个无约束最小二乘问题，并把该无约束最小二乘问题的解作为下一步迭代的下降方向，保证每一步迭代具有足够的下降量，从而进一步提高精确与不精确固定矩阵迭代方法的计算效率。最后我们将通过多个数值算例来验证本文理论结果的正确性和数值方法的有效