最新《常微分方程》课件合集

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1、第一章引论一．[内容简介]本节结合常微分方程的实例，讲解与常微分方程有关的一些基本概念和术语.二．[关键词]常微分方程，微分方程的通解，初始条件，特解三．[目的与要求]1．正确理解微分方程、常微分方程及其阶、线性微分方程与非线性微分方程、解、通解、初始条件、初始值问题和特解等基本概念.2．了解常微分方程与生产实际和科学技术的紧密联系，了解常微分方程讨论的基本问题.§1.1微分方程的概念和实例一、背景函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许多实际问题，往往不能直接找出需

2、要的函数关系，却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676年詹姆士．贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具．1846年,数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星—--—--海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多．

3、在微分方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献．二、案例案例1：死亡年代的测定遗体死亡之后，体内碳14的含量就不断减少，已知碳14的衰变速度与当时体内碳14的含量成正比，试建立任意时刻遗体内碳14含量应满足的方程。解设时刻遗体内碳t14的含量为pt,根据题意有dPtkPtk0常数dt等式右端的负号是由于Pt随时间的增加而减少．t二、案例案例2：自由落体运动一个质量为m的质点，在重力作用下自由下落，求其运动方程。三、微分方程的概念这

4、是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方这是首先要解决的一个问题，为此我们先从代数方程说起程说起..在代数中我们研究过求解高次代数方程在代数中我们研究过求解高次代数方程nn1axaxaxa0nn110代数方程——含有一个变元的关系式，即由已知数aa01,,,,aann1与未知数x组成的等式，运算有：,,,,乘方，……，它的解是数.由代数基本定理知道，它的解只有有限个.在数学分析中也研究过由隐式Fxy(,)0确定的隐函数yx()的问题.函数方程——至少含有两个变元的关系式，即由自变

5、量x和函数y组成的等式.运算有,,,,函数运算，…….它的解是函数.由隐函数存在唯一性定理知，解为有限.定义1：所谓微分方程，就是一个或几个包含自变量、未知函数以及未知函数的微商(或微分)的方程.dx2t(1.1)dtdy0(1.2)dy13yxx(0)(1.3)dxxdy21y(1.4)dx'''yyyx(1.5)...xax0(1.6)uuxyu(1.7)xy只含一个自变量的微分方程称为常微分方程，自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程.例如，上例(1.1)—(1.6)

6、都是常微分方程，(1.7)是偏微分方程.方程中所含未知函数的最高阶导数的阶数，叫做方程的阶.例如，(1.1)，(1.2)，(1.3)，(1.4)，(1.7)是一阶方程，(1.5)和(1.6)是二阶方程.一般n阶常微分方程具有形式'(n)(1.8)Fxyy(,,,,y)0或者是显式()nn'(1)yf(,,,,xyyy)(1.9)四、微分方程的有关概念1．微分方程的线性与非线性ⅰⅰi)i)线性微分方程线性微分方程如果如果(1.8)(1.8)式的左端关于未知函数和它的各阶导数都是式的左端关于未知函数和它的各阶

7、导数都是一次的有理整式，则称一次的有理整式，则称(1.8)(1.8)为为nn阶线性常微分方程阶线性常微分方程..ⅱⅱii)ii)非线性微分方程非线性微分方程不是线性微分方程的，称为非线性微分方程不是线性微分方程的，称为非线性微分方程..n阶线性常微分方程的一般形式是阶线性常微分方程的一般形式是()nn(1)axy()axy()axygx()()(1.10)01n其中其中axax01(),(),,(),()axgxn都是已知的实值连续函数都是已知的实值连续函数..在上例中，在上例中，(1.1)(1.1)

8、，，(1.2)(1.2)，，(1.3)(1.3)，，(1.6)(1.6)，，(1.7)(1.7)是线性是线性的，的，(1.4)(1.4)，，(1.5)(1.5)是非线性的是非线性的..2．微分方程的解微分方程的解是一个函数，函数就有定义域，设为区间I.定义2设函数yx()在区间上连续，且有直到阶导In'()nyy,,,'(yn)数,若用(),(),