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1、多小波变换的矩阵形式及其软件实现我们知道，进行1次多小波变换的分解与重构公式为：与单小波不同之处在于，公式中的s(n,k)是r维列向量，H(k),G(k)是rXr大小的矩阵。因此，在使用这个公式前，必须进行预处理，使进行小波变换的一维数据变成rXN维的数据，这称为预滤波。预滤波后，进行小波分解，然后进行重构，重构后再将rXN维数据变成1维数据，这称为后滤波。预滤波与后滤波的矩阵表示从前面的解释中可以看出，假设多小波的重数是r维的，多小波分解算法要求有初始系数（即r维向量）才能进行计算，而通常的输入数据是一维的信号，或者是函数f(t)的等间距采样值，为了应用上
2、面的公式，这就需要将一维数据或者f(t)的等间距采样值转化为r维向量，这个转化的过程一般称为预处理或者预滤波。对一维数据进行预滤波后，进行小波变换即小波分解，然后进行逆变换即小波重构，还得将重构后的r维向量转化为一维数据，这个过程就称为后滤波或者后处理。一般来说，小波重构是精确重构，则需要后滤波是预滤波的逆过程。一维多小波变换过程如下：一维信号→预滤波→分解→重构→后滤波→一维信号研究多小波变换的矩阵表示，首先应该知道预滤波与后滤波的矩阵表示形式。然后做变换，最后结果中，取每个向量的第1个元素就是不重复预滤波方法的后滤波。这种方法我们不讨论，如果你想讨论的话
3、，我们本次讲座的内容也完全能够处理这种方法。2、恒等预滤波方法就是按信号的前后顺序，直接将信号变成向量，不做其它处理，直接进行多小波变换的方法。例如对s=[a,b,c,d]’，有预滤波方法常见有：1、重复预滤波方法比如对重数r=2的GHM小波，如果s=[a,b,c,d]’;则将s变成向量恒等预滤波方法适用于平衡多小波。3、插值预滤波方法这种方法见此软件目录下的原创文献：Designofprefiltersfordiscretemultiwavelettransforms.pdf，具体想法是针对特定的多小波，将给定的要做小波变换的一维信号f(t)看成是等间隔采
4、样的f[t_kj],然后通过插值方法得到向量c_0k,MWMP软件包中文件coef_prep.m中，有关于GHM的2个预滤波方法，例如对于GHM小波，其双正交插值预滤波方法为：此软件目录下的子目录“预滤波”和“新加坡国立大学QingtangJiang的多小波文章(00年前后)”，都是一些关于预滤波的论文，请参考。4、Hardin-Roach预滤波方法插值预滤波方法不能同时保持逼近阶和正交性，而这种方法能同时保持逼近阶和正交性，具体参考此目录下2篇原创文献“MultiwaveletPrefiltersI.pdf”、“MultiwaveletPrefilters
5、II.pdf”。预滤波的一般表示形式：由于在实际应用中，我们使用的多小波都是2重的，即r=2，此时，预滤波器可以写成如下的通用形式：其中P_0,P_1,…,P_L就是长度为L+1的预滤波器。下面我们给出一些小波的预滤波与后处理的具体滤波器，并且与MWMP软件包中文件coef_prep.m的相同小波进行比较说明，通过这种比较，你就知道，如果你在其它文献或者教材上看到一个新的预滤波器，如何加入文件coef_prep.m中了。下面是一些常用的双正交插值预滤波、后滤波的滤波器，其中P_k是预滤波器，Q_k是后滤波器：预滤波与后滤波的一般关系STT多小波，也称SA4多
6、小波，其中P_0是预滤波器，Q_0是后滤波器：预滤波与后滤波的关系关于预滤波方法的程序验证：对GHM小波，其双正交插值预滤波方法如下请注意：后滤波的公式虽然写成这样形式，但它是预滤波的逆过程，因此，请注意观察下面程序中关于后滤波的实际计算方法，或者看看论文Designofprefiltersfordiscretemultiwavelettransforms%本程序演示对GHM多小波，使用ghmap方法进行预滤波与后滤波的矩阵计算方法x=[8,12,0,5,20,3,9,16,22,6,55,21];xx=[8,12;0,5;20,3;9,16;22,6;55
7、,21]';disp('原始数据x=');disp(x);disp('向量化后的数据xx=');disp(xx);fp=prep1D_appe(x,'ghmap');disp('使用prep1D_appe函数对x进行预滤波后的数据fp=');disp(fp);[PR,PO]=coef_prep('ghmap');a=PR(:,1:2);b=PR(:,3:4);x1=[];fori=1:length(xx)-1x1=[x1,a*xx(:,i)+b*xx(:,i+1)];endx1=[x1,a*xx(:,length(xx))+b*xx(:,1)];disp('
8、直接使用矩阵乘积计算，得到的xx的预滤波的结果x1=
