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1、课后第二章习题解答1.（1）Rn×n中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。（2）Rn×n中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。证明：（2）A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴AA-1=A-1A=E故（A-1）-1=A∴A-1（A-1）-1=（A-1）-1A-1=E故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又AT=A∴（A-1）T=（AT）-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上（下）三角阵。证A-1也是单位上（下）
2、三角阵。证明：A是单位上三角阵，故
3、A
4、=1，∴A可逆，即A-1存在，记为（bij）n×n由AA-1=E，则（其中j＞i时，）故bnn=1,bni=0(n≠j)类似可得，bii=1(j=1…n)bjk=0(k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。Rn×n中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上（下）三角阵”对矩阵求逆是封闭的。2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。A1=，A2解：A1=，
5、I-A1
6、==，解（1I-A）x=0得解（2I-A）x=0得4、已知矩阵，求A的行空间及零空间的基。
7、解：5、已知矩阵，试计算A的谱半径。解：6、试证明，其中。7、在R4中求向量x=（1，2，1，1）T在基S=（1，2，3，4）下的坐标，其中1=（1，1，1，1）T，2=（1，1，-1，-1）T，3=（1，-1，1，-1）T，4=（1，-1，-1，1）T。解：由x=sy得y-4=s-1x=8、在中向量，取基，求。9、已知R3中两组基S1={1，2，3}=，S2={1，2，3}=①求从S1到S2的过度矩阵；②设已知u=（2，1，2）TR3求u在S1下的坐标和u在S2下的坐标。解：①A=S1-1S2=②对u=（2，1，2）T在S1下，由u=S1x可求出x=S1-1u=在S2下，由u=S2x可求出x
8、=S2-1u=10.已知A=，求dim(R(A)),dim(R(AT)),dim(N(A)).解：A=dim(R(A))=dim(R(AT))=r(A)=2dim(N(A))=n-r=4-2=211、已知A=span{1,ex,e-x},D=是X上的线性变换，求①D关于基S1={1,2ex,3e-x}的矩阵A；②D关于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩阵B。解：①由Dx=S1A,设A=[X（1），X（2），X（3）]D（1）=0，0=S1X（1）=0·1+0·2ex+0·3e-x,X（1）=(0,0,0)TD（ex）=ex,ex=S1X（2）=0·1+·2ex+0·
9、3e-x,X（2）=(0,,0)TD（e-x）=-e-x,-e-x=S1X（3）=0·1+0·2ex+·3e-x,X（2）=(0,0,)T②类似的可得D关于基S2={1,（ex+e-x）/2，（ex-e-x）/2}的矩阵B为12、已知线性变换T：P2（t）→P3（t）,定义T为T（P（t））=求线性变换T在基偶（S1={1,t,t2},S2={1,t，t2/2,t3/3}）下的矩阵。解：设所求矩阵为A，则有TS1=S2AT（1）=T（t）=T（t2）=13、设ARm×n,定义从Rn到Rm的变换T为T：xRn→y=AxxRm试证明T是线性变换。证明：，有故，由定义知，T是线性变换。14、已知R3
10、中取基S1=，R2中取基S2=。线性变换T：R3→R2定义为x=（x1，x2，x3）TR3，Tx=（x2+x3，x1+x3）TR2.求①T在（S1，S2）下的矩阵A；②设u=（2，-3，2）TR3，u在S1下的坐标和Tu在S2下的坐标。解：①由题知，T（S1）=S2A②对u=（2，-3，2）T在S1下由可求出在S2下由可求出15、求由向量1=（1，2，1）T与2=（1，-1，2）T张成的R3的子空间X=span{1,2}的正交补（即所有与X垂直的向量的全体）。解：令解得故=16、试证明若{1，2，…，t}是内积空间H中不含零向量的正交向量组，则1，2，…，t必线性无关。证明：假设存在使两边与作
11、内积得又（因故故1，2，…，t必线性无关。17、计算下列向量的‖x‖∞，‖x‖1和‖x‖2。①x=（3，-4，0，3/2）T②x=（2，1，-3，4）T③x=（sink,cosk,2k）Tk为正整数。解：①‖x‖∞=②‖x‖∞=③‖x‖∞=18、证明：20、21、试计算，，，其中m,n是正整数。22、已知，试计算，，，。23、在上，由构造带权的首1正交多项式，和。解：24、给出点集及权，试构造正交
