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1、椭圆基础知识:一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于
2、
3、这个条件不可忽视.若这个距离之和小于
4、
5、，则这样的点不存在；若距离之和等于
6、
7、，则动点的轨迹是线段.2．椭圆的标准方程：（）3．椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.二．椭圆的简单几何性质（）1．椭圆的几何性质：设椭圆方程线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴．它们的长分别等于和，离心率：（）.越接近于时，椭圆越扁；反之，越接近于时，椭圆就越接近于圆.2．椭圆的第二定义⑴定义：与定点的距离和它到一条定直线
8、的距离的比是常数，这个动点的轨迹是椭圆．⑵准线：（）的准线方程为.准线方程.3．椭圆的焦半径：设（-，0），（，0）分别为椭圆（）的左、右两焦点，是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.4．椭圆的参数方程椭圆（）的参数方程为（为参数）⑴这里参数叫做椭圆的离心角．椭圆上点的离心角与直线的倾斜角不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.5．椭圆的内外部点在椭圆（）的内部6．焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、，有关角结合起来，建立、等关系．面积公式:三．直线与椭圆的位置关系1．直线和椭圆方程分别是，第11页共11页
9、椭圆联立消去，得 （3）如果，方程（3）的判别式为，那么：直线和椭圆相交，有两个交点直线和椭圆相切，有一个公共点直线和椭圆相离，无公共点当直线和椭圆相交时，在曲线内的线段（包括端点）叫椭圆的弦，当弦过焦点时，称其为焦点弦。2．求弦长的方法：利用弦长公式：或3．求弦的中点的方法；可把直线方程与椭圆方程联立再用韦达定理求之，即，4．直线与椭圆关系应用解决椭圆与直线的关系的问题，常用韦达定理和“点差法”求之。关于“点差法”：设椭圆：，直线与相交于两点，，则有（1）-（2）整理可得，即1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周
10、长是A．2B．6C．4D．122．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为第11页共11页椭圆A．B．C．D．1．已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是A．B．C．D．2．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A．B．C．D．3．把离心率等于黄金比的椭圆称之为“黄金椭圆”，设为黄金椭圆，、分别是它的左焦点和右端点，是它的短轴的一个端点，则A．B．C．D．4．斜率为的直线与椭圆相交于、两点，则的最大值为A．2B．C．D．弦长
11、A
12、B
13、=≤答案C5．若直线和椭圆相交于不同两点、则常数的取值范围是；弦的中点坐标是（用表示）；当变化时，弦中点的轨迹方程是。6．已知直线与椭圆有唯一公共点，则等于。7．对任意实数，直线：与椭圆：恒有公共点，则取值范围是_______________。8．直线与椭圆相交所得弦的中点坐标是。9．求直线被椭圆所截弦长。第11页共11页椭圆1．点是椭圆上的动点，是坐标原点，求线段的中点的轨迹方程。2．过椭圆内一点引弦，使被平分，求直线的方程。3．设椭圆方程，为短轴的一个端点，、为椭圆上相异两点，若总存在以为底边的等腰，则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．解：设MN：，代入，得.由，得.又由
14、，得.因为，，所以，将代入，得，代入，得，于是4．过点的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆的方程解法一由e=,得,从而a2=2b2,c=b设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1右焦点(b,0)关于l的对称点
15、设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=第11页共11页椭圆∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1解法二由e=,从而a2=2b2,c=b设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－直线ly=x过AB的中点(),则,解得k=
