高二 函数学案

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1、第5讲函数的性质一、奇偶性与周期性（一）知识归纳：1．奇偶性：①定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.②简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.2．周期性：①如果存在一个非

2、零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数.注意：f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期.②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为.3、单调性：1．定义：如果函数y=f(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、f(x2)，

3、则称f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f(x)称单调函数.2．设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集，①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数

4、.3．若函数y=f(x)在定义域l内的某个区间上可导，①若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增函数；②若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减函数.【例】讨论下述函数的奇偶性：[解析]（1）函数定义域为R，，∴f(x)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：①设②设③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，对x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数；（3），∴函数的定义域为，∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)

5、的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；（4）∵x2≤a2,∴要分a>0与a<0两类讨论，①当a>0时，，∴当a>0时，f(x)为奇函数；既不是奇函数，也不是偶函数.【例】解答下述问题：（I）已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式.[解析]由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x

6、)为偶函数，∴当x∈[－2，0]时，f(x)=f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2，∴4+x∈[0，2，∵f(2+x)+f(2－x)，∴f(x)=f(4－x)，∴f(x)=f(－x)=f[4－（－x）]=f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7;综上，（II）已知f(x)的图象关于直线x=a对称，又关于点（m,n）对称（m≠a），求证：f(x)是周期函数.由条件得，∵a≠m,∴f(x)是周期T=4（a－m）的周期函数.（Ⅲ）已知定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x+1)=－f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=3－x－1

7、，求的值.[解析]∵f(x+2)=－f(x+1)=f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，【例】解答下述问题：（I）讨论函数的单调性.[解析]∵函数的定义域为（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如图所示.（II）[解析]f(x)的定义域是，①当a≤0时，而f(x)在端点x=2连续，∴当a≤0时，f(x)在定义域内为增函数；②当a>0时，令令；∴当a>0时f(x)的单调递增区间是而单调递减区间是【例】解答下述问题：（I）讨论函数的单调性.[解析]∵函数的定义域为（注）这个函数的单调性十分重要，应用非常广泛，它的图象如

8、图所示.（II）[解析]f(x)的定义域是，①当a≤0时，而f(x)在端点x=2连续，∴当a≤0时，f(x)在定义域内为增函数；②当a>0时，令令；∴当a>0时f(x)的单调递增区间是而单调递减区间是函数图象知识归纳：1