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1、数学系•张运杰•模糊数学课程教案第6章•模糊关系与模糊聚类分析第6章模糊关系与模糊聚类分析在自然界中，事物之间存在着这样或那样的关系，其中有些关系是非常明确的，如“父子关系”、“兄弟关系”等等。而更多的则是界限不明显的关系，如照片与本人的“相像”关系，信息处理中各种信息的“相近”关系，还有“朋友关系”以及“子代身高同父代身高之间的关系”等。对于这类关系用简单的“肯定”或“否定”，即用“1”或者“0”来刻画显然是不合适的，必须将关系的值域扩充为[0,1]，即用模糊理论来进行描述，这就是模糊关系。与经典关系所处的
2、地位一样，模糊关系是模糊理论最重要的内容之一，其应用范围十分广泛，几乎遍及模糊数学的所有应用领域。本章主要介绍模糊关系的基本理论以及它的重要应用之一——模糊聚类分析，主要内容包括：模糊矩阵，模糊向量，模糊关系，模糊聚类分析。6.1模糊矩阵如同数值矩阵在经典数学中的作用一样，模糊矩阵是建立模糊数学方法的重要工具之一。同时，当论域有限时，模糊关系可以用模糊矩阵来表示。6.1.1模糊矩阵的定义及其运算定义1设R=(rij)m×n是一个m×n的矩阵，如果A是论域U到[0,1]上的一个映射，即rij∈[0,1]，1≤i
3、≤m,1≤j≤n(6.1)则称R是模糊矩阵，通常一Mm×n来表示所有m×n的模糊矩阵构成的集合。定义2设R,S∈Mm×n且R=(rij)m×n，S=(sij)m×n，则(1)R与S相等定义为：R=S⇔rij=sij,∀i,j；(2)R包含于S定义为：R⊆S⇔rij≤sij,∀i,j；(3)R与S的交定义为：R∩S=(rij∧sij)m×n；(4)R与S的并定义为：R∪S=(rij∨sij)m×n；C(5)R的余定义为：R=(1−rij)m×n。例1设R,S,T∈M2×2且⎛0.40.7⎞⎛0.90.4⎞⎛0.
4、90.6⎞R=⎜⎜⎟⎟，S=⎜⎜⎟⎟，T=⎜⎜⎟⎟⎝0.50.1⎠⎝0.20.7⎠⎝0.40.8⎠则由定义2有：S⊆T，并且⎛0.4∧0.90.7∧0.4⎞⎛0.40.4⎞⎛0.4∨0.90.7∨0.4⎞⎛0.90.7⎞R∩S=⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟，R∪S=⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟⎝0.5∧0.20.1∧0.7⎠⎝0.20.1⎠⎝0.5∨0.20.1∨0.7⎠⎝0.50.7⎠-1-数学系•张运杰•模糊数学课程教案第6章•模糊关系与模糊聚类分析C⎛1−0.41−0.7⎞⎛0.60.3⎞R=⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟⎝1−0.5
5、1−0.1⎠⎝0.50.9⎠模糊矩阵的交、并、余运算满足如下算律。定理1设R,S,T,W∈Mm×n，则有(1)幂等律：R∩R=R，R∪R=R；(2)交换律：R∩S=S∩R，R∪S=S∪R；(3)结合律：(R∩S)∩T=R∩(S∩T)，(R∪S)∪T=R∪(S∪T)；(4)吸收律：(R∩S)∪R=R，(R∪S)∩R=R；(5)分配律：R∩(S∪T)=(R∩S)∪(R∩T)，R∪(S∩T)=(R∪S)∩(R∪T)；CC(6)复原律(对合律)：(R)=R；CCCCCC(7)对偶律(DeMorgRn律)：(R∩S)=
6、R∪S，(R∪S)=R∩S；(8)零壹律：R∩O=O，R∩E=R，R∪O=R，R∪E=E，其中⎛00L0⎞⎛11L1⎞⎜⎟⎜⎟⎜00L0⎟⎜11L1⎟O=，E=⎜⎟⎜⎟MMLMMMLM⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝00L0⎠⎝11L1⎠(9)单调性：R⊆S,T⊆W⇒R∩T⊆S∩W，R∪T⊆S∪W；CC(10)逆序性：R⊆S⇔S⊆R；(11)R⊆S⇔R∩S=R，R∪S=S。CC必须指出，一般R∩R≠O，R∪R≠E，即模糊矩阵的交、并、余运算不满足互补律。模糊矩阵的交、并运算还可以推广到任意多个模糊矩阵上去。(t)(t)定义
7、3设T是指标集，R=(rij)m×n∈Mm×n(t∈T)，则分别称(t)((t))(t)(t)IR=∧r和UR=(∨r)ijijt∈Tt∈Tm×nt∈Tt∈Tm×n(t)为模糊矩阵{R
8、t∈T}的交和并。(t)定理2设T是指标集，S,R∈Mm×n(t∈T)，则有(1)SI⎛UR(t)⎞⎟=U(SIR(t))SU⎛IR(t)⎞⎟=ISUR(t)⎜，⎜()；⎝t∈T⎠t∈T⎝t∈T⎠t∈TCC(2)⎛IR(t)⎞⎟=U(R(t))C，⎛UR(t)⎞⎟=I(R(t))C。⎜⎜⎝t∈T⎠t∈T⎝t∈T⎠t∈T6.1.
9、2模糊矩阵的截矩阵定义4设R∈Mm×n，且R=(rij)m×n。如果Rλ=(rij(λ))m×n满足-2-数学系•张运杰•模糊数学课程教案第6章•模糊关系与模糊聚类分析⎧1,rij≥λrij(λ)=⎨0,r<λ⎩ij则称Rλ为模糊矩阵R的λ截矩阵。显然，模糊矩阵的λ截矩阵是布尔矩阵。并且容易证明：对∀R,S∈Mm×n，(1)(R∩S)λ=Rλ∩Sλ，(R∪S)λ=Rλ∪Sλ；(2)λ≤α⇒Rα⊆Rλ
