概率论习题解答

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1、习题课——随机变量的数字特征一、内容小结二、例题分析三、补充练习一、内容小结1.随机变量的数字特征的意义分布函数密度函数数学期望描述了随机变量的平均取值—均值详细地描述了随机变量的概率分布情况相关系数描述了X与Y的线性相关程度方差描述了随机变量的取值与期望的偏离程度协方差：刻画两随机变量之间的关系方差D(X)协方差Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X)=E{[X-E(X)]2}D(X)=E(X2)-E2(X)相关系数XY数学期望E(X)函数Y=H(X)连续型离散型在定义式中用H(x)代替x2.常用的数字特

2、征的定义式与计算式E(X2)=D(X)+E2(X)计算期望的六个公式：3.常用的数字特征的性质数学期望E(aX+b)=aE(X)+bE(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)X,Y相互独立方差D(aX+c)=a2D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)X,Y相互独立相关系数X与Y相互独立？Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)有特殊情况独立性与数字特征关系图4.几个常用的分布的数字特征分布(0-1)分布二项分布泊松分布指数分布均匀分布正态分布分布律或概率密度函数期望方差ppqnpnpq5.其它契比雪夫不等式设{Xn}为相互独立的随机变量序列，E(Xi)存在,D(Xi)

3、≤M，(i=1，2，…则对>0，有契比雪夫(大数定律)定理独立同分布中心极限定理设X1,X2,…,Xn,…独立同分布，E（Xn）=，D（Xn）=2≠0，则例1P98T2将3只球随机地逐个放入4只编号为1,2,3,4的盒子中,以X表示至少有一只球的盒子的最小号码,试求E(X)。xk=1,2,3,4,关键是求pk，样本点的总个数为43=64用对立事件计算:k=4时,p4=1/64分析:离散型,用公式直接计算12341234k=1时,p1=(43-33)/64=37/64k=3时,p3=(23-1)/64=7/64k=2时,p2=(33-23)/64=19/64123412341234二

4、、例题分析例2P99T8将n只球(1n)随机地放进n只盒子中去,一只盒子只能装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中去,则称为一个配对.记X为总的配对数,求E(X).则有利用性质E(X+Y)=E(X)+E(Y),关键是把X写成某些随机变量的和的形式，若记分析:12345n-2nX的取值为:0,1,2,······，n。用求分布律的方法十分困难Xi01E(Xi)=1(1/n)=1/n所以E(X)=nE(Xi)=1这是一个典型的离散型的分布求数学期望的问题。例3设随机变量X的概率密度为求Y=1/X2的数学期望和方差。解:这样,Y的数学期望存在但方差不存在发散例4P99T12设二维随机变量（X,

5、Y)具有概率密度（2）求Cov(X,Y)解：（1）先求fX(x),fY(y)求（1）X与Y是否相互独立。X与Y不相互独立。没有必要计算Cov(XY)=0例5已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布,并且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),X与Y的相关系数为-1/2,设Z=X/3+Y/2(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z);(2)求X与Z的相关系数.解:(1)E(Z)=E(X)/3+E(Y)/2=1/3.注意到D(X)=9,D(Y)=16,而本题难点在于熟练掌握计算性质.1、设随机变量X与Y独立,且X服从数学期望为1,标准差(均方差)为的正态分布,而Y服从标准正态分布,试

6、求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.解:由于Z为独立正态随机变量X与Y的线性组合,Z仍然服从正态分布,故只需确定Z的数学期望E(Z)和方差D(Z).由期望和方差的性质:所以Z服从正态分布N(5,9),从而得Z的概率密度函数为:三、补充练习P10020、某个单位设置一个电话总机，共有200个分机。设每个分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线通话时可供使用。查表得分析：设X表示同时要求使用外线的分机数，由隶莫佛—拉普拉斯定理:E(X)=np=10,D(X)=np(1-p)=9.5m为总机需配备外线条数，

7、而XB(200,0.05)求使P{Xm}≥0.9成立的最小m故总机需配备14条外线