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1、微積分二講義2-3鏈鎖律(ChainRule)及隱函數的微分法定理1.1d2382(3x−2x−2)例題1dx例題23d142dx2x−x+8d310011.(x−5x)2.D4322dx(x−2x−5)即時練習定理2.5rr-1若r為任意有理數且f(x)=x，則f′(x)=rx例題363求D1+xrr-1定理3.設r為任意實數且f(x)=x，則f′(x)=rx定理4.設r為任意實數且f為一可微分函數,則7drr−1[][]f(x)=rf(x)⋅f′(x)dx即時練習3d2(1)求(x−3x+2)48dxd1(2)求3dxx+29隱藏在x與
2、y的方程式中之函數,稱為隱函數。16微積分二講義隱函數的微分法:..........例題11022dy若x+y=1,求dx例題211424dy若x−3xy++y=−1,求dx例題312424求過曲線x−3xy++y=−1上一點(1,1)之)之切線方程程即時練習求下列方程式之dy/dx13231.x−xy+y=x2.xy−3x=y定理1.(反函數的微分公式)14設f:x→y與g:y→x互為反函數且可微分,則g′(y)=1/f′(x)其中f′(x)≠0。例題43dx15若y=x,求dyy=8即時練習1632dx若y=x-3x+3x-1,求dyy
3、=817微積分二講義定理2(參變數函數的微分公式)若⎧x=f(t)dx⎨且f(t)與g(t)均為可微分函數，如果≠0，則17⎩y=g(t)dtdydydt=dxdxdt例題518⎧x=1+tdy⎨,t∈R ，求⎩y=2t−3dx例題6⎧119x=t+⎪tdy⎨,t∈(0,∞，)求1dx⎪y=t−⎩t即時練習201.x=4t−3，y=2t+5−2−12.x=t， y=t18微積分二講義2-3鏈鎖律(ChainRule)及隱函數的微分法習題2-4三角函數的微分序號授課內容定理13Dsinx=cosxDsinu=cosu•Du例題1求(1)Dsi
4、n(3x-1)43(2)Dsin4x(3)Dsin(lnx)19微積分二講義即時練習51.Dsin(sinx)2.Dln(sinx)即時練習設f(x)=1+sin2x,求f′(x)定理26Dcosx=-sinxDcosu=-sinu•Du例題2(1)722D(cosx-sinx)例題2(2)82Dxcosx即時練習1−Cosx設f(x)=,求f′(x)91−sinx定理3(1)22Dtanx=secxDtanu=secu•Du10例題Dtan1−x例題3114D(tan3x)定理3(2)1.Dsecu=secu•tanu•Du22.Dcot
5、u=-cscu•Du123.Dcscu=-cscu•cotu•Du例題Dsecx•tanx13例題420微積分二講義Dln(cscx)即時練習tan(x+h)−tanx14limh→0h即時練習d()−1−1−115tanx+(tanx)+tanxdx例題5dy16Ifsinx+cosy=x+y,finddx21微積分二講義2-5反三角函數的微分1定理2例題13即時練習4定理5例題2622微積分二講義即時練習7定理8-1x9若y=sec(e)，求dy/dx即時練習10-12若y=sec(x-1)，求dy/dx其他三個反三角2823微積分二講
6、義指數、對數函數的微分讓我們先回憶瑞士數學家Euler所發現的神奇常數e(譯為歐拉數或尤拉數,並以其姓之第一字母e命名)。數字e可以下列極限所定義:11ne≡lim(1+)n→∞n定義:y2logx=y⇔a=xa例題Solvex13logx=42對數函數的基本性質424微積分二講義例題5例題6定理及證明7例題8即時練習9定理及證明10例題1112即時練習25微積分二講義定理及證明13例題14即時練習15定理及證明16例題171826微積分二講義例題即時練習1927微積分二講義指數、對數函數的微分習題28微積分二講義2-7微分與近似值1例題1
7、2例題24即時練習例題3567例題429微積分二講義例題58即時練習930微積分二講義2-7微分與近似值習題31微積分二講義3-1函數的遞增、遞減練習17例題4932設f(x)=2x−9x+12x+3,求f之遞增區間及遞減區間。1112練習332微積分二講義33微積分二講義3-1函數的遞增、遞減習題34微積分二講義3-4函數的極值授課內容設函數f(x)定義在區間I上，且c∈I，δ為很小的正數(1)若f(c)≥f(x)，∀x∈()c−δ,c+δ，則f(c)為f之相對極大值1(2)若f(c)≤f(x)，∀x∈()c−δ,c+δ，則f(c)為f之
8、相對極小值練習1以上述的方式描述右圖圖形中函數的極值2補充設函數f(x)定義在區間I上，且c∈I3(1)若f(c)>f(x，)∀x∈I，則f(c)為f在I上之極大值(2)若f(c
