百万美元街头投篮大奖赛

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1、北美NBA赛场如火如荼，而与之配套宣传的飞利浦百万美元投篮大赛亦与此同时吸引着全球球迷的眼球。如今，这类由球迷参与的娱乐节目越来越多。投篮大赛最早可以追溯到20世纪80年代，当时的美国大陆篮球协会（ContinentalBasketballAssociation）为提高观众对比赛的兴趣，特意精心安排组织了一项球迷投篮比赛，且获得最后胜利的一位球迷选手可得到高达百万美元的奖金，称之为CBA百万美元街头投篮大奖赛，该项比赛由每个地区组织自己当地的比赛，并选出地区代表参加最后的总决赛。总决赛只有一场，获胜者也只

2、有一名，可以获得奖金一百万美元。最后总决赛的规则如下：一、所有参加选手抽签决定出场次序；二、每位选手出场时，可以选择场地内任何一个位置投篮，不管投进与否，只允许投篮一次；三、所有选手投篮完毕后，命中的选手中投篮距离最远的一位获得最后的胜利；四、如果所有选手都没有命中，采用突然死亡法，即按照原来抽签的次序开始投篮，第一个投中的选手立刻获胜。比赛的规则是由美国大陆篮球协会制定的，他们注重的是吸引观众和比赛进行的现实性。不过，从数学家的角度来看，比赛规则似乎不够公平。比赛的结果是由上述规则三和规则四来决定的，当

3、然主要是看规则三，很明显，后面投篮的选手比前面的选手有优势。尤其是最后一名选手，他只要看看在他投篮前的最远命中距离是多少，然后选择比那个距离远一点点，哪怕是1厘米，如果他能投中就获胜了，这显然比起前面那个最远距离命中的选手来说占了优势。对于规则四，发生的概率微乎其微，因为如果前面的选手为了要获胜选择较远距离投篮然而都失败了（这种可能性是存在的），但是到了最后一位选手，他可以随便选择一个地点投篮，只要投中就可以获胜了。如果发生这种情况，即使最后一名投篮者是笔者，，恐怕也可以获得百万美元的奖金了，何况他们都是

4、各自地区里面的获胜者。作为选手，他们的目的当然是赢得最后的百万美元。在抽签结果出来后，每位选手将采取怎样的策略来最大可能地获取胜利呢？在我们对这种比赛进行细致分析之前，先来看看以往某次比赛的结果：1985年2月11日，在佛罗里达州坦帕市（Tampa,Florida）举行了一场百万美元CBA街头投篮大奖赛，当时共有14位各个地区的代表参加了比赛。下面的表格描述了抽签后各选手一次投篮的情况。表11985年CBA百万美元街头投篮大奖赛赛况抽签后选手次序投篮距离（英尺）命中情况123456~142424+2828

5、+3232+命中失败命中失败命中全部失败最终获胜的是抽签后为第5位的选手，我们看到除了第一位以外，每位选手都根据当时赛场上的结果选择自己的投篮距离（这里的24+表示比24多一点距离）。很明显，规则三在一定程度上左右了比赛的结果，体育画报和联赛出版物也各自论述了后面的选手比起前面的选手有优势，因为他们可以根据前面比赛进行的情况随时调整自己的策略。那么究竟后面的选手比起前面来有多大的优势呢，或者抽签的次序对于比赛的结果影响有多大呢？下面我们在一定的假设下来回答这个问题，并且给出读者最关心的问题：每位选手应该选

6、择在什么地方投篮才能使自己最后获胜的可能性最大。一、合理假设我们首先假设规则四所描述的情况不可能发生，即在第一轮至少会有一个选手投篮命中，因为所有选手在第一轮中都失败的概率实在是太小了。另一方面，即使大家在第一轮中都失败了，那么从第二轮开始，每位选手的最佳投篮策略肯定就是选择在自己投篮命中率最高的位置上进行投篮，直到出现第一位投篮命中的选手为止，这里已不再存在悬念了。一个重要而实际的假设就是所有的选手投篮水平都一样。由于每位选手都是各个地区的代表，他们都有一定的投篮水平，但一般都不知道其他选手的水平如何，

7、他们在各自地区的初赛中获得了胜利，在一定程度上说明了他们的水平都不错。为了方便对题目的讨论，这样的假设是很合理也很重要的。接下来的假设是针对规则三来考虑的。每位选手在确定自己投篮的位置时，一般都会参考当前投篮命中的最远距离（第一位例外），而且他很有可能会选择在该最远命中距离稍远一点的地方来投篮，一般远的越少它的命中率也就越高。为了避免由于不存在最小的正实数所引起的麻烦，我们给比赛增加一条规则：如果有两位选手在投篮中的命中距离相等，则出场次序在后的选手获胜。进一步我们假设每位选手在比赛中都能发挥自己的正常水

8、平，不会受到其他因素包括天时、地利、人和等等的影响。将选手投篮的水平用概率来描述，我们设其为连续的概率函数，，表明某位选手在距离为d的地点投篮失败的概率。这里我们选择了投篮失败的概率而不是投篮命中的概率是考虑到如下的假设：距离越远，命中概率越小，也就是越大，这样我们就可以假设为严格单调递增函数。读者可能会想到，在实际的篮球场中，距离为d的点不止一个，确切地说是一段圆弧，一般说来，每个距离为d的点投篮失败的概率不一定都一样，也就