线性代数总结

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1、概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆rAn()A的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Ax只有零解x，AxA0nR,Ax总有唯一解TAA是正定矩阵AEApppp是初等阵12si存在阶矩阵nBA,使得BEA或BEn○注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间.A不可逆rAn()A0A的列（行）向量线性相关0是的特征值AAx有非零解,其基础解系即为关于A0的特征向量raEbAn()○注aEbA

2、()aEbAx有非零解=-ab向量组等价矩阵等价()具有反身性、对称性、传递性矩阵相似(:)矩阵合同(;)√关于ee,,,e：12nnn①称为¡的标准基，¡中的自然基，单位坐标向量p；教材87②ee,,,e线性无关；12n③ee,,,e1；12n④tr=En；⑤任意一个n维向量都可以用ee,,,e线性表示.12n1aaLa11121naaLa行列式的定义Da21222n()1()jj12LjnaLanjMMM1212jnjnjj12LjnaaLann12nn√行列

3、式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AOAAO=ABOBOBB②若AB与都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）OAAmn=(1)ABBOBO③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.aOa11nnaann(1)21nn21④关于副对角线：()12aaKa（即：所有取自不同行不12nnn1NNaOaOnn11同列的n个元素的乘积的代数和）11L1xxL

4、x12n222⑤范德蒙德行列式：xx12Lxnxijx1jinMMMnn11n1xxLx12naa1112La1naaLa矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表A21222n称为mn矩阵.记作：Aa或AijmnMMMmnaaLamm12mnAA1121LAn1TAALA伴随矩阵AA*1222n2，A为A中各个元素的代数余子式.ijijMMMAALA12nnnn√逆矩阵的求法:1abdb1A1主换L位①A○注：Acdad

5、bcca副变L号2初等行变换1②()AEMM(EA)1111a1a1a1a311③a2aa2a22a1a13a3a31mnmnmnmn√方阵的幂的性质：AAA()AA()√设ABmn,ns,A的列向量为12,,,n,B的列向量为12,,,s，bb1112Lb1sbbLb则ABC,,,21222scc,,,LcAc，(,is1,2L,)ms12n

6、s12iii为MMMbbLbnn12nsAxc的解AA,,,,,,AAc,,,cLccc,,L,c可由,,,线性表i12s12ss1212s12n示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.T同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.aa1112La1n1c1aa111122Lac1n21aaLacaaLac即：21222n222112222n22MMMMML

7、LLaaLacaaLacnn12mnnmmm1122mn2m√用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.TTTABAC√分块矩阵的转置矩阵：TTCDBDA1A1A1B1分块矩阵的逆矩阵：11BBBAAC1AA111CBAO

8、1AO111OBOBCBBCABnAB1111AB1111nA11分块对角阵相乘：AB,