2.3.14.1分类讨论思想

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1、分类的思想方法在数学中较为普遍。如立体几何中的一些知识和问题：空间两直线的位置关系分为相交、平行、异面三种；线面、面面的位置关系以它们公共点的多少为标准分别分为相交、平行、线在面内的三种和平行、相交两种，而对于相交的情形，根据其交角是否为直角又分为斜交和直交两种；简单几何体可划分为柱体、锥体、台体和球四类，每一类（除球外）又可分为若干个子类；教学直线和平面所成的角时，要分直线和平面斜交、直线和平面垂直、直线和平面平行或直线在平面内三种情况加以说明。教学中，不失时机地揭示并帮助学生运用分类的思想方法，有助于学生全面系统地归纳整

2、理，消化知识，亦有益于训练思维的条理性和严密性，发展思维能力。另外，根据几何图形及位置存在的不同情况也需分类讨论。例7．若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)解析：该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造

3、出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM·AD.CM===.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=×2×=，故VABCD=××1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·，不妨令a=b=

4、2，c=1，则V=·=·=.例8．四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1∶1∶1∶3，则平面M的个数应有多少个?解这样的平面应分4种情况讨论：(1)4个顶点都在平面M的同侧，则有C41·1＝4个(平面)；(2)距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C41·1＝4个(平面)；(3)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C31·C41·1＝12个(平面)(4)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有C32·C41·1＝12个(平面)；∴一共应有4+4+12+12＝32个(平面)例9．直线上有两点到平面α的距

5、离相等，这条直线和平面α的位置如何？解析：(1)若直线上的两点到平面α的距离都等于0，这时直线在平面α内(如图)(2)若直线上的两点在平面α的两侧,且到平面α的距离相等,这时直线与平面α相交(如图)．(3)若直线l上的两点在平面α的同一侧，且到平面α的距离相等(如图)．∵AA1⊥α于点A1，BB1⊥α于点B1．又A、B均在l上，且在α的同侧．∴AA1BB1∴AA1BB1为一平行四边形．∴AB∥A1B1∴这时直线l与平面α平行．想一想：若直线l上各点到平面α的距离都相等，那么直线l和平面α的位置关系又怎样？例1.不共面的4个定

6、点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）。A.3个B.4个C.6个D.7个解：把不共面的4个定点看成四面体的4个顶点，平面α可分两类。第一类，如图1所示，4个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类α有4个。第二类，如图2所示，4个定点分布在α的两侧各2个，此类α有3个。综上，共有4+3=7（个），故选D。