《素材》《子集与推出关系》（上教版）子集与推出关系

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1、第一章集合和命题课题：1.6-子集与推出关系教学目标：1.理解集合包含关系与推出关系的等价性，掌握运用该等价关系进行推理的方法。2.了解集合思想在分析问题、解决问题中的应用，进一步提高分析和概括能力以及数学语言的表述能力。3.通过理解集合关系与推出关系之间的内在联系，体会数学的和谐统一之美。教学重点：子集与推出关系等价性的理解与应用教学难点：子集与推出关系等价性的证明教学过程：引子：问题(1)：已知命题α“x＞4”与命题β“x＞2”，请判断两者的推出关系。学生很容易判断：命题α命题β问题(2)：若集合A中的元素具有命题α的性质，即A＝{x︱x＞4}，集合B中

2、的元素具有命题β的性质，即B＝{x︱x＞4}，请判断集合A、B之间的关系。学生也很容易判断：AB问题(3)：集合A、B之间的关系“AB”与命题α、β之间的关系“αβ”有内在的联系吗？可以再研究一个：(1)已知命题α“图形甲是正方形”与命题β“图形甲是菱形”，请判断两者的推出关系。判断结果：命题α命题β(2)若集合A中的元素具有命题α的性质，即A＝{x︱x是正方形}，集合B中的元素具有命题β的性质，即B＝{x︱x是菱形}，请判断集合A、B之间的关系。判断结果：AB归纳猜测：设A＝｛a︱a具有性质α｝，B＝｛b︱b具有性质β｝，若αβ则AB。思考：逆命题“若AB

3、则αβ”是否成立？举例：A＝｛x︱x＞5｝，你能否找到一个满足“AB”条件的集合B？学生应该比较容易找到的：如B＝｛x︱x＞3｝性质α：x＞5；性质β：x＞3显然有：“x＞5”“x＞3”即αβ则AB则αβ思考：通过以上研究，对集合间关系和推出关系你能得出什么结论？归纳猜测：子集与推出关系的等价性第一章集合和命题设A＝｛a︱a具有性质α｝，B＝｛b︱b具有性质β｝，则AB与αβ等价。证明：（教师讲解）(1)充分性：[先证“AB”“αβ”，即证具有性质α一定具有性质β]若x具有性质α，则x∈A∵AB∴x∈B得：x具有性质β则αβ(2)必要性：[再证“αβ”“AB

4、”，即证x∈A则x∈B]若x∈A，则x具有性质α∵αβ∴x具有性质β得：x∈B则AB由(1)(2)可知：AB与αβ等价反思：(1)集合A、B与性质α、β对应关系如何？(2)证明等价性需要证明“充分性”和“必要性”。(3)若AB、A＝B、AB、AB，相应的α与β之间的推出关系如何？α是β的什么条件？归纳结论：设A＝｛a︱a具有性质α｝，B＝｛b︱b具有性质β｝，(1)AB与αβ等价，即α是β的充分条件(2)AB与αβ等价，即α是β的必要条件(3)A＝B与αβ等价，即α是β的充要条件(4)AB与αβ且αβ等价，即α是β的充分不必要条件(5)AB与αβ且αβ等价，

5、即α是β的必要不充分条件[例1]试用子集与推出关系判断α是β的什么条件。(1)α：x＞2；β：x≥2(2)α：x2＝1；β：x＝1解：(1)设A＝{x

6、x＞2}，B＝{x

7、x≥2}∵AB∴αβ且αβ∴α是β的充分非必要条件(2)设A＝{x

8、x2＝1}＝{－1，1}，B＝{1}∵AB∴αβ且αβα是β的必要非充分条件解题反思：判断α、β之间的充分条件、必要条件的依据是什么？[例2]判断集合A＝｛n︱n＝5k，k∈N*｝与B＝{n︱n的个位数是5，n∈N*}之间的关系。第一章集合和命题解：设α：正整数n能被5整除；β：正整数n的个位数是5∵αβ且αβ∴AB解题反

9、思：判断集合A、B之间关系的依据是什么？[例3]设α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，α是β的充分条件，求实数m的范围。解：设A＝{x

10、1≤x≤3}，B＝{x

11、m＋1≤x≤2m＋4，m∈R}∵α是β的充分条件，∴αβ得AB∴解得：－≤m≤0思考：若α是β的必要条件，如何求m的范围？课堂小结：(1)子集与推出关系的等价性；(2)应用时的注意点。练习：《一课一练》P.29-1、2作业：《练习册》P.9-习题1.6-A组1～4，B组1～2(做在练习册上)