利用向量与复数巧解旋转问题

《利用向量与复数巧解旋转问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2015年第3期数学教学3—31利用向量与复数巧解旋转问题430079华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心彭翕成复数Z=a+bifa、b∈R1与复平面上的l点z(n，6)一一对应，而点Z(a，b)与向量(二)2一一对应，可以将zb)和0都看成是复数Z=a+bi的几何形式．／从向量的发展历史来看，向量能够进入数图2学并得以发展，复数在其中出力不少．复数几何表示的提出，既使得“虚幻”的复数有了实际定义：O．(cos+i8in)是指以点(二)为的模型，不再虚幻；又使得人们在逐步接受复旋转中心，将OP逆时针旋转所得

2、的向量．数的同时，学会利用复数来表示和研究平面中特别地，(=)．i为以点0为中心，将0P逆时针的向量，向量从此得到发展．旋转90。所得的向量；发展至今天的向量，如果与复数再度携手，通常记ei=COS+isin，容易验证e又能在哪些方面有所作为呢?．ei：ei(Q+．有不少资料在介绍复数的时候，总强调数下面结合案例说明．其基本思路是将一个学家引入复数的目的是为了使得X+1=0有向量分解，将分解后的向量进行旋转，最后再解．其实，从数学史来看，数学家原来认为组合．这样的作法是可以转化成欧氏几何中的像+1=0这样的方程是

3、无解的，也没想到图形全等和旋转的，只是用向量表述更加简便．过引入复数，直到解三次方程时，才被迫引入更详细的论述和案例可参看《向量、复数与质了新的虚数单位．这是因为数学崇尚简单，主点》．张：如无必要，莫增实体!例1如图3，平面上有正AABC和正在教学中，由于教科书之前过多强调一个△A1B1，边BC和边B1C1有相同中点(二)．数的平方非负，所以当引入虚数单位i的时候，求证：AAI~BB1，且AA1=v／3BB1．很多学生觉得难以接受．为了说明i2：一1这证明：A1A·i=(A1o+oA)·i=v~(clO+———一

4、一————_———————-，————_7—————7一—一一基本性质并不神秘，可以将i解释为“向左oo)=、／3C=x／~BB】．C1C=BB1是因转”．“左转两番朝后方”是众所周知的常识，就为对角线相互平分，四边形C1CBIB是平行四这样，把复数与旋转联系起来．边形．也可构造模型来帮助理解i2=一1．直角三角形中的射影定理(图1)是大家熟悉的，若C_i-B，CD上B，则Dz=DA．DB．如果将这模型与坐标平面联系起来(图2)，不就成了=f一11．1=一1了么?图3例2如图4，平面上的三个正方形ABCD、A1B

5、1C1D1和A2B2C2D2，顶点和图13—32数学教学2015年第3期1、C和分别重合，M是B1B2的中点．求证：D1D2上口M，DID2=2BM．证明：D2D1·i=(J[)2C+CB+B+D1)·i：B2C+AB+CJE；+B1A=B2B+BIB=2．图7例6平面上有两个等边三角形1B1、A2B2，它们的顶点都按顺时针方向标注．C由平面上一点0引出向量(二)、(二)台、(二)，使D它们分别等于12、UlB2、C1C2．证明：图4△AB是等边三角形．证明：A．e号=fAO+OC1．e亏=例3如图5，四边形AB

6、CD绕点《二)逆(A2A1+C1c2)·e亏=(2—A1C1)·e亏=时针旋转90。得到四边形JE}CJ[)，设点A2B2一AtB1=A2A1+B1B2=A0+0B=P、Q、R、分别是B、B、CJ[)、A舀，故△A召是等边三角形．的中点．求证：PR~QS，PR=QS．证明：20S．i：fCA+BD)．i=+D—B：2．图8图5例7如图8，两两具有公共顶点的正三角形ABC、CDE和E日K(顶点均按逆时针方例4如图6，在正方形ABCfD的边上作向排列)，且A19=D．证明△BHD是正三正△BF、△BE．求证：EF：A

7、C．角形．证明：A—C’．e亏一：(B+B——。—C一1．e号·=证明：K5．e争：．e争：(Dd+1e§i：E—C+C—B：E—BEB+BF=EF．．．亏=+：，动日D．e吾ii：=fH积+IfD)．e51：蔬+E—B：砀，故ABHD是正三角形．图6这比去证△JE}F△A召显得更加直接、顺畅．例5如图7，在四边形ABD的边上分图9别向外作正方形，四个正方形的中心分别为点、F、G、H．求证：四边形ABD和四例8如图9，分别以平行四边形BD边形EFG日的对角线的中点构成一个正方形，的边为边长向形外作四个正三角形：△

8、AEJE}、即t，，是正方形．△BF、△GD、△H．求证：AE、EF、证明：2KJ．i=fEB+GD1．i=E+GF、G、G日、日的中点是正六边形的六一2，其他邻边也是如此命题得证．个顶点．2015年第3期数擎数学3-33证明：设A、F、FC的中点分别为点例11如图l2，以△ABC的AB、AC为X、Y、Z，则2xf．e§i：．e吾i：(A／3+边向外作两个等边三角形BD、