一类具时滞SIR传染病模型的动力行为

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1、高校应用数学学报2015，30(2)：165—170一类具时滞SIR传染病模型的动力行为杨洪，朱焕(1．黑龙江八一农垦大学理学院，黑龙江大庆1633192．哈尔滨工业大学(威海)理学院，山东威海264209)摘要：分析传染病模型的稳定性，并考虑到已感染者对易感染者的作用的时滞影响．文中首先在R01时，证明了正平衡点的局部渐近稳定性和持久性．关键词：传染病模型；时滞；稳定性中图分类号：O175．13文献标识码：A文章编号：1000—4424(2015)02—0

2、165—0651引言在数学的传染病学中，学者们关注比较多的理论研究就是各种传染病模型的非线性动力学行为．经典的带有双线性接触率的SIR传染病模型通常有一个无病平衡点和至少一个地方病平衡点【1】_近些年，学者们对非线性系统的动力学行为的研究具有非常大的兴趣．特别地，文[2]研究的带有非线性接触率的SIR模型dN~t)：bm(S+R)一SI一6s+p6IdtSI=一q6I一5I一7—T(I)(1)=一y—bR+bm(S+R)+T(I)．这里只考虑SIR传染病模型的动力学行为．由于，在动力系统中，研究者们认为时滞会导致系统不稳定性和周期振动，所以

3、，也注意传染的过程是受时滞影响．文中S(t)，I(t)和R(t)分别表示t时刻的易感染者，已感染者和恢复者的数量．非线性接触率为{；．基本假设如下：fi1在t时刻人口总数记为Ⅳ=++R．易感染者和恢复者所生的新生儿都属于易感染人群．而已感染者所生的不携带病毒的新生儿也属于易感染人群．(ii)常数b(6>0)表示易感染者和恢复者的出生率和死亡率．(>0)表示已感染者的出生率和死亡率．，y(>0)表示己感染者的自然康复率．常数q(O

4、)非线性接触率；中的(>0)表示感染率，(Q0)表示半饱和常数．收稿日期：2014．03．29修回日期：2015．04-17基金项目：黑龙江省教育厅科学技术项目(12541593)166高校应用数学学报第30卷第2期(iv)这里要求p5一bm0，使得模型更具有研究价值所以，在上述假设条件下，所研究的这类模型为=bm(S(t)+R())一~1S+(t)IJ(t-r)—一bS(t)+p5I(t)，：js(t)x(t-~-)一J一qSI(t)一5x(t)一-yI(t)，(2)dR(t)．=-yI(t)一bR(t)+bm(S(t)+R@))．又由于

5、dt：0。．，则人口总数Ⅳ是一个常数．为了方便起见，假设为N=S+I+R=1．由S+R=1一I，系统(2)的前两个方程不含R，因此，系统(2)可以仅考虑如下形式dS(t)bin(1-I(t)．一)’(3)=一一psi(t)-yI(t)．§2预备知识引理2．1【0】若a0)，(4)其中对于一7-t0，札(￡)>0，则必有lim乱()=0．文【4】研究无限维系统的一致持久理论．考虑度量空间(d)，在这里对V∈Y与XcY的距离d(，)，定义为：d(，X)：inf，

6、d(，)．设是y上的连续半流，存在连续映射：f0，∞)XY_y，满足TtO=Tt+，t，s0；To()=Y，Y∈这里记为()=T(t，Y)是由y到y的映射．把通过Y的正轨线7+()定义为+()=ut>oT(t)y，并且它的极限集为()=N>_oCLutT(t)y，其中CL表示闭包．定义Ws(A)为紧不变集A的稳定集(A)={：Y∈()≠，()CA)．再定义不变集AI9为Ao=UEAa()．假设y是开集y。的闭包，Yo=OY。表示y。的边界且非空．那么，y。uYo=yonYo：．并且，再假设T(t1是y上的半流，满足T(t)：Y一Y，T(t)

7、：Yo一．(5)令To(t)=T(t)lyo且a对~Ta(t)是全局吸引子．引理2．2【5】在(5)的前提下，若满足(i)存在to0，对t>to，(t)都是紧的，(ii)T(t)在y上是耗散的，(iii)Ao=u∈。w(x)是孤立的且存在非循环覆盖M，那么，T(t)是一致持久的充要条件是对于每个∈M，W。()nX。=，i=1，2，⋯，n．杨洪等：一类具时滞SIR传染病模型的动力行为167由系统(2)的第三个方程，很容易得到引理2．3．引理2．3对于系统(2)，若S(t)和()是持久的，则R(t)必是持久的．§3主要结果首先，用c表示连续泛函

8、：【一下，0]一王的范数1Ill=sup{I1()l，I2()I)，一下0其中=(1，2)．进一步，令c+：{=(1，2)∈c：t()0，∈[一7_，0】，i=1，2)．系统(3