偏导数 全导数

《偏导数 全导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一、区域第一节1.邻域多元函数的基本概念点集U(P0,δ)={PPP0<δ},称为点P0的δ邻域.一、区域例如，在平面上，设P00=(,)xy0二、多元函数的概念U(P0,δ)={(x,y)(x−x)2+(y−y)2<δ}00三、多元函数的极限δ(圆邻域)四、多元函数的连续性P0MATHYTU1MATHYTU22.区域在空间中,(1)内点、外点、边界点EU(P,)={(x,y,z)222}0δ(x−x0)+(y−y0)+(z−z0)<δ设有点集E及一点P:•若存在点P的某邻域U(P)⊂E,(球邻域)则称P为E的内点；说明：若不需要强调邻域半径δ,•若存在点P的某邻

2、域U(P)∩E=∅,P0则称P为E的外点;也可写成U(P0).•若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E点P0的去心邻域记为的外点,则称P为E的边界点.o显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的U(P0)={P0

3、折线相连,聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为则称D是连通的;E的边界点)D•连通的开集称为开区域,简称区域;所有聚点所成的点集称为E的导集.。。•开区域连同它的边界一起称为闭区域.MATHYTU5MATHYTU6例如，在平面上y♣整个平面是最大的开域,y♣{(x,y)x+y>0}开区域ox也是最大的闭域；♣{(x,y)11}y♣{(x,y)x+y≥0}闭区域是开集，但非区域.22♣{(x,y)1≤x+y≤4}o12x•对区域D,若存在正数K,使得yyD⊂U(O,K),则称D为有界域,否则称为无oxo12

4、x界域.MATHYTU7MATHYTU82n*3.n维空间R中的点x=(x1,x2,",xn)与点y=(y1,y2,",yn)的距离记作ρ(x,y)或x−y,规定为n元有序数组(x1,x2,",xn)的全体称为n维空间,n(x,y)=(x−y)2+(x−y)2+"+(x−y)2记作R,即ρ1122nnnnR=R×R×"×RR中的点x=(x1,x2,",xn)与零元O的距离为={(x1,x2,",xn)xk∈R,k=1,2,",n}x=x2+x2+"+x212nn维空间中的每一个元素(x1,x2,",xn)称为空间中的当n=1,2,3时,x通常记作x.n一个点,数x

5、k称为该点的第k个坐标.R中的变元x与定元a满足x−a→0记作x→a.当所有坐标x=0时，称该元素为Rn中的零元,记作nkR中点a的δ邻域为O.U(a,δ)={xx∈Rn,(x,a)<δ}ρMATHYTU9MATHYTU10二、多元函数的概念定义1.设非空点集nD⊂R,映射f:D6R称为定义引例:在D上的n元函数,记作r•圆柱体的体积2{}hu=f(x1,x2,",xn)或u=f(P),P∈DV=πrh,(r,h)r>0,h>0点集D称为函数的定义域;数集{uu=f(P),P∈D}•定量理想气体的压强称为函数的值域.RT{}p=(R为常数）,(V,T)V>0,T>

6、T0V特别地,当n=2时,有二元函数a+b+c2•三角形面积的海伦公式(p=)bz=f(x,y),(x,y)∈D⊂R2aS=p(p−a)(p−b)(p−c)当n=3时,有三元函数c3u=f(x,y,z),(x,y,z)∈D⊂R{(a,b,c)a>0,b>0,c>0,a+b>c}MATHYTU11MATHYTU123z22例如,二元函数z=1−x−y22三、多元函数的极限定义域为圆域{(x,y)x+y≤1}o1y图形为中心在原点的上半球面.x定义2.设n元函数f(P),P∈D⊂Rn,P是D的0又如,z=sin(xy),2z(x,y)∈R聚点,若存在常数A,对任意正数

7、ε,总存在正数δ,对说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)∈DyD的图形一般为空间曲面Σ.x一切P∈D∩U(P0,δ),都有f(P)−A<ε,则称A为222三元函数u=arcsin(x+y+z)f(P)当P→P0时的极限，记作定义域为单位闭球222{(x,y,z)x+y+z≤1}limf(P)=A(也称为n重极限)具体4P→P0图形为R空间中的超曲面.单元3MATHYTU13MATHYTU14n定义2.设n元函数f(P),P∈D⊂Rn,P是D的定义2.设n元函数f(P),P∈D⊂R,P0是D的0聚点,若存在常数A,对任意正数ε,总存在正数δ,对聚点,若存在常数

8、A,对任意