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《高校代数课教学的一些作法和看法(冯克勤)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第20卷第5期大学数学Vol.20,№.52004年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2004高校代数课教学的一些作法和看法冯克勤(清华大学数学科学系,北京100084)高校数学课应当增加几何、代数(甚至离散数学)的比重,这是多年来议论的话题.几何数学问题最严重,不少学校现在已缺乏讲拓朴学的教员,几何课只剩下讲经典曲线曲面的微分几何.不少人对加强几何教学发表了看法和建议(比如最近北大陈维桓教授)在《高等数学研究》中的文章),加强几何与代数教学可以说出一大堆理由.我想结合自己对本科生的教学情况,谈一些个人看法,供参考.目前多数学
2、校的代数课为线性代数(或叫高等代数,包括多项式理论)和近世代数(或叫抽象代数,讲述群、环、域).线性代数作为两个学期的基础课,普遍受到重视,本文不谈.对于近世代数,多数学校是周三学时一个学期的选修课.近世代数作为必修课还是选修课并不十分重要,主要问题是:不少学校这门课的教学效果不十分好,学生觉得太抽象,没有掌握这门课的本质思想和方法.而这门课的思想却是很丰富的,其中的原因有教师的教法和水平问题,也有课程安排问题.当然还有更深层次的问题:在世界先进的数学研究和其他科学和技术领域,现代的代数学已是重要的工具,但在国内这方面有不小差距.抽象代数研究
3、各种代数结构的性质和分类,形式化推理多,习题比较难.数学的抽象是各种具体对象中提炼出共性,从而使应用更加广泛.而学生的最大问题是心中没有多少例子,不知道形式化的推理在干什么,不了解为什么要研究群、环、域这些代数结构.历史上,伽罗华研究高次代数方程根式可解性提出群的思想,高斯研究二次型整数解讨论高斯整数环的惟一因子分解,库默尔研究费马猜想导致环中的理想概念,但是这些内容(以及用域的扩张解决三等分角和正多边形尺规作图等等)大都要到课程的最后才讲到,甚至由于学时太少不能讲.学生学了一堆空泛的定义和定理,后面没有一个课程用到群环域,结果是学生在考完试
4、之后,关于群环域的知识几乎全都忘掉了.我们的第一个想法是:大学第一学期讲一个《初等数论》的短课.中国科学技术大学从1977年起就在本科生一年级第一学期开设周三学时的《初等数论》必修课,一直坚持至今.2000年笔者来清华之后,也在清华数学科学系新生第一学期开设周二学时的《初等数论》必修课.新生入校学初等数论是基于三点考虑.(1)大学数学一上来就是微积分和线性代数课,不仅份量重,而且与中学数学味道也很不一样.不少数学很好的中学生被这当头两棒打昏,由喜欢数学变成害怕数学.初等数论的不少内容是中小学就接触过的(质数,因子分解,辗转相除求最大公约数,带
5、余除法⋯⋯),这个课对新生有亲近感.所以是联系中学和大学数学的一个纽带,保持他们对数学的兴趣.(2)初等数论和线性代数是下一步学习抽象代数的必要课程.初等数论中的同余类环是有限交换群和交换环的最基本例子,数论中的原根与指数就是循环群的生成元和群中元素的阶.同余类本身可引伸出群对子群的陪集分解,以及商群和商环的思想.即使不学这些,在讲抽象代数时也要补充这些内容.[收稿日期]20042062016大学数学第20卷(3)由于数字计算机和数字通信的发展,离散性数学(包括组合数学,初等数论,有限域等)在数学研究和应用中的地位增强.现在许多数学系有信息数
6、学专业,初等数论是必不可少的.由于上述理由,我觉得现在不少学校到大三之后再开设数论选修课,意思就不大了.因为初等数论都可以给中学生讲,大三学生再听初等数论,会感到拿他们当小孩子耍.初等数论是研究整数性质和方程整数解的学问.公元前三世纪欧几里德证明了算术基本定理(正整数唯一分解为质数乘积).欧拉和高斯研究费马提出的一系列问题,在二百年前建立了系统理论(整除性和同余性),其中有许多好的数学思想和有趣的故事.初等数论有许多问题易懂而做起来很困难.不要让学生做太难的习题,注重讲系统的方法,并展示这些方法可以解决什么问题,同时说明为解决另一些数学问题还
7、需要进一步发展数学,即近世代数.师生一起共同欣赏和享受(injoy)当年欧拉和高斯是如何做数学的,应当是双方都愉快的事情.最后,可讲述初等数论在信息安全方面的应用(大数分解的RSA公钥体制和离散对数体制,用于保密、数字签名与认证、密钥分配和共享等).这部分内容常引起学生极大的兴趣,使一些信息专业的学生来听课.初等数论也是鼓励学生个性发展的很合适的课.不少学生在数论方面有很好的素质,他们常给出习题的一些新解法,学生之间不同想法还可以讨论,这使得同学和我都有成就感.第二,谈谈近世代数的讲法.关键有两点:一是要让学生心中有足够多的例子,学生能通过这
8、些例子直观地体会抽象定理的意义和价值,然后能把握和应用它.二是要教给这门课本质性的东西.比如群和环中的同态方法,群在集合上的作用等.这几年在硕士入学口试中,问到“最
