数学解题过程与解题教学

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1、数学解题过程与解题教学一、数学解题过程1、数学问题的分类数学问题具有客观和主观两个方面。问题的客观方面是指问题的语言陈述，也就是通常意义下的数学题。问题的主观方面是指解题者对问题的理解，主要包括问题的起始状态、目标状态和达到目标状态的途径，解题者对数学题的理解可以称为问题空间。虽然问题的语言陈述是相同的，但是不同的解题者对问题的理解会有很大的不同，即不同的解题者形成不同的问题空间类型。因此我们可以将数学题和人看成一个系统，依据解题者形成的问题空间类型来划分数学问题。（1）标准题如果解题者明确某个数学题

2、的起始状态、目标状态，达到目标的途径，那么解题者形成第一类问题空间类型，相对于解题者而言，这个数学题称为标准题。起始状态目标状态解题途径或解题方法（2）变式题如果解题者明确某个数学题的起始状态、目标状态，达到目标的途径，但是解题者还需要从两种或两种以上达到目标状态的途径中进行选择，那么解题者形成第二类问题空间类型，相对于解题者而言，这个数学题称为变式题。起始状态目标状态解题途径或解题方法（3）探究题如果解题者明确某个数学题的起始状态和目标状态，但不知如何到达目标，那么解题者形成第三类问题空间类型，相对

3、于解题者而言，这个数学题称为探究性题。起始状态目标状态解题途径或解题方法?？？（4）开放题如果解题者只明确数学题的起始状态，或目标状态，或达到目标状态的途径而且只明确一个，那么解题者形成第四类问题空间类型，相对于解题者而言，此数学题是开放性题。起始状态?目标状态解题途径或解题方法?？？起始状态目标状态？解题途径或解题方法?？？实验1阅读题后立即报告该题的解题方法。实验2阅读题后立即报告该题的解题方法。实验3阅读题后立即报告该题的解题方法。实验4阅读题后立即报告该题的解题方法。给出三张图，每个图中画出五

4、个点，问哪张图中的五个点从整体上看散度最小，为什么？2、数学解题过程分析（1）波利亚的《怎样解题》表乔治·波利亚(GeorgePolya，1887-1985)美籍匈牙利数学家。先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读法律、语言、数学、物理和哲学，获布达佩斯大学哲学博士学位，是法国巴黎科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。（1）波利亚的《怎样解题》表作为数学教授的波利亚为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他很早就开始探索数

5、学中的发明创造，利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，直到1944年才发展为名著《怎样解题》一书。该书出版后，被译成多种文字，直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典，波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜，在全世界广为流传。第一你必须弄清问题弄清问题未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分

6、？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？第二找出已知数与未知数之间的联系如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。第二找出已知数与求知数之间的联系拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?第二找出已知数与未知数

7、之间的联系拟定计划你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。第二找出已知数与未知数之间的联系拟定计划如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？第二找出已知数与未知数之间的联系拟定计

8、划你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？第二找出已知数与未知数之间的联系拟定计划你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三实行你的计划实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？第四验算所得到的解回顾反思你能否检验这个论