高考习题总结：立体几何

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1、课题立体几何（必修2）知识回顾：一、空间基本元素：直线，平面之间位置关系的小结．条件结论线线平行线面平行面面平行垂直关系线线平行如果a∥b，b∥c，那么a∥c如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b线面平行如果a∥b，aα，bα，那么a∥α——如果α∥β，aα，那么α∥β——面面平行如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β条件结论线线垂直线面垂直面面垂直

2、平行关系线线垂直二垂线定理及逆定理如果a⊥α，bα，那么a⊥b如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c线面垂直如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α——如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α面面垂直定义（二面角等于900）如果a⊥α，aβ，那么β⊥α————①圆柱体积：（为半径，为高）②圆锥体积：（为半径，为高）③锥形体积：（为底面积，为高）④球的体积：V=，表面积公式内切球（难点）：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，得.注：球内切于四面体：②外接球：球外接于正四面体，可如图

3、建立关系式.讲练结合小题判断：例1．已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若上有两个点到的距离相等，则；④若，则．其中正确命题的序号是（）A．①②　　B．①④　C．②④　　D．③④例2．已知直线及平面，下列命题中是假命题的是（）A．若∥,∥,则∥；B．若∥，∥，则∥.C．若，∥，则；D．若∥，则；例3．α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①a//α、b；②a⊥α、b；③a⊥α、b；④a//α、b且a与α的距离等于b与β的距离，其中是a⊥b的充分条件的有（）A．①④B．①C．③D．②③例4．l1∥l2，

4、a，b与l1，l2都垂直，则a，b的关系是A．平行B．相交C．异面D．平行、相交、异面都有可能例5．设、、为平面，、、为直线，则的一个充分条件是A．　B．C．D．答案：1－5CBCDD直观图的画法（斜二侧画法规则）：（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（　　）（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_____（1.答：A）（2.答：）FABCPDE大题：平行与垂直的判定（中垂线定理＋等腰三角形三线合一）例1.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，若、分别为、的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平

5、面.（1）证明：连结AC，则是的中点，在△中，EF∥PA，……2分且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD……5分（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA……8分又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD……10分又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，又PA平面PAD，所以平面PAD⊥平面PDC……12分图11DEA1CBAC1B1例2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，，E是A1C的中点，且交AC于D，(如图11)．（I）证明：平面；（II）证明：

6、平面．证明：（I）三棱柱中，又平面，且平面，平面（II）三棱柱中，中，，是等腰三角形．E是等腰底边的中点，又依条件知且由①，②，③得平面EDB．题型：求体积、表面积例1.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（　　）A、　　　B、　　　　C、　　　D、思考：外接球呢？例2.一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为.例3．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是（　　）PADCBA．B．C．D．答案;1-3C1B例4.如图，四棱

7、锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．若AB=AD=a,直线PB与CD所成角为450，求四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD；例5．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积．答案例4.解：∵AB∥CD∴∠PBA是PB与CD所成角即∠PBA=450∴在直角△PAB中，PA=AB=a,又∴VP－ABCD=·PA·SABCD=答案例5.解析：在侧面AB’内作BD⊥AA’于D，连结CD．∵AC=AB