高中数学讲座

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1、高中数学讲座高考中的平面向量问题龚天勇考纲解读§要掌握平面向量的概念与性质（共线、模、夹角、垂直等）；§在选择填空中要重视平面向量的几何运算,也要重视坐标运算（有时要自己建系）；要注意三角形的重心、垂心的向量判断；§在其它知识如解析几何中要注意平面向量的工具作用（如平行、垂直可转化向量的关系求解）。一、平面向量基本概念与性质：1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作

2、

3、｜

4、。向量不能比较大小，但向量的

5、模可以比较大小。②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行是零向量｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。注意零向量与0的区别-17-③单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线

6、向量。注意：（1）、数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，（2）、理解平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；相等向量经过平移后总可以重合，记为。两个向量相等的充要条件是对应坐标相等；即：。2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+==。规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”-17

7、-（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是始点重合，和向量是始点与两个已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是在向量“首尾相接”时，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相

8、反向量。记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。②向量减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。向量加上的相反向量叫做与的差，记作：③作图法：当、有共同起点时，可以表示为从的终点指向的终点的向量；（3）实数与向量的积①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：-17-（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3．两个向量共

9、线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4．平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。5、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.6．平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作

10、=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其起点、终点的相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：-17-①若，则；②若，则；③若=(x,y)，则=(x,y)；④若，则。7两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a和b,作=a，=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围：向量夹角θ的范围是,a与b同向时，夹角θ=0°;a与b反向时，夹角θ=180°(3)向量垂直如果向量

11、a与b的夹角是90°，则a与b垂直,记作a⊥b8、．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；说明：①当θ＝０时，与同向；②当θ＝π时，与反向；③当θ＝时，与垂直，记⊥；④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。-17-（2）数量积的概念已知两个非零向