关于导数在研究初等函数及其他领域的应用

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1、导数在研究初等函数及其他领域的应用（伊犁师范学院数学与统计学院新疆伊宁835000）摘要：在当今数学分析的诸多方面，导数是研究函数性质的一个强有力工具，也是研究其他领域的重要的相关知识，也是历年高考题中的重要考点。下面我将围绕导数在初等函数及其他领域的应用和在高考高考中的应用做一剖析。关键词：导数初等函数高考例题研究一、导数的定义：若函数y=f(x)在的的领域内有定义，且极限存在，则称函数y=f(x)在处可导，且记为或例1、设函数f(x)对任何实数,满足，且求f(x)解：在式中令得。因，对即，积分：由f(0)=1知C=0，二、导数的几何意义：函数y=f(x)在处的导

2、数在几何上表示曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率，即，为切线与X轴正向的夹角。三、导数在初等函数上的应用：这类题一般考查导数的几何意义、切线方程、公切线方程的表示法、求导法则以及方程的相关知识。1.1利用导数与函数切线关系解题例1设，是曲线与曲线的一个公共点，在这个公共点处两曲线有相同的切线，试用表示a,b,c.解：设过点p(t,0)的公切线为L,则L的方程有两种表达方式：，.且..、变为和.于是解得故1.2利用导数求函数的单调性这类题主要考查导数的符号与函数单调性的关系、分类讨论的思想方法。定理：设函数y=f(x)在（a、b）内可导，则（1）如果在（a，b）内f

3、（'x）＞0，那么函数y=f（x）在（a，b）内单调增加；（2）如果在（a，b）内f（'x）＜0，那么函数y=f(x）在（a，b）内单调减少。例1、研究函数的单调性。解：当>0时，由从上表中的符号随x取值的变化规律发现，此时f(x)的单增区间是和，单减区间是和.当a=0时，此时f(x)的定义域为因此在内单增。当a<0时，>0，f(x)定义域为此时单增区间是没有单减区间。例2、确定函数y=的单调区间。解函数的定义域为（-∞，+∞），求函数导数得=，令=0，得=1，=—1；用以上两点把定义域分成小区间，列表考察个区间内的符号。所以，函数的单调增加区间为（-1，0）和（1

4、，+∞），单调减少区间为（-∞，-1）和（0，1）。例3、设恰有3个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：(1)当a>0时，>0恒成立，在R上是增函数，不和题意。（2）当a=0时，恒成立，在R上是增函数，不合题意。(3)当a<0时，令，即解得即令即，解得即或所以，时，递增区间为递减区间为和1.3利用导数求解函数的极值例1、求函数的极大值、极小值。解：令得.解得列表如下：即由上表可知x=1时，有极大值0，当x=3时，有极小值-281.4利用导数求解函数的最值求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤为：（1）求出f(x)在区间（a,b）内的

5、所有驻点，导数不存在的点，并计算个点的函数值；（2）求出端点处的函数值f(a)和f(b)（3）比较以上所有函数值，其中最大的就是函数在[a,b]上的最大值，最小的就是函数在[a,b]上的最小值。例1、求函数在区间上的最大值，最小值。解：令即解得，X变化时，的变化如下表：由表可知最大值是，最小值是1.5利用导数定义求初等函数的导例1、求函数f（x）=的导数。解即用类似的方法，可求得1.6导数在研究不等式中的应用例1：证明不等式.证明：令则当时，在上是增函数，又在处连续，恒成立，原不等式得证。1.7导数在数列中的应用例1、二次函数的图象经过（0,10）导函数当时，的函数

6、值为整数的个数记为了，求数列的通向公式。解：设图象经过点（0,10）又当时，的函数值为正数的个数是.当n=1时，f(x)在（1,2）的值域是[4,6]，当n=2时，f(x)在（2,3)的值域是.时，递增.当n≥3时，f(x)在递增，值域为综上，所得1.8导数在解析几何中的应用例1、求抛物线上的点到直线的最短距离。解：由题意可知，与直线平行的抛物线的切线对应的切点到直线的距离最短，设切点坐标为则得切点坐标为切点到直线的距离为抛物线上的点到直线的最短距离为1.9导数在求参数取值范围中的应用例1、已知在（1,4）内为减函数，在上位增函数，求a的取值范围。解：，令得：或当，

7、即时，在为增函数，不合题意。当，即时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。，的取值范围是[5,7]1.10利用导数求解函数点上的切线方程例1、求函数过点（1,2）作其切线，求切线的方程。解：当时，过点（1,2）的切线方程为.即y=5x-3函数过点（1,2）的切线方程为y=5x-31.11应用导数证明三角恒等式例1、求证：.证明：设函数则所以，，取x=0,有，所以c=0即f(0)=0,所以，得证。四、导数在高考中的的应用通过对近年高考中导数试题的剖析,得出导数命题的三个突出特征:全面考查基本概念和方法;注重知识点的交叉命题;融汇数学思想,加大试题区分度。把握