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1、高等数学研究Vol10,No4106STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJul.,2007教学参考*常微分方程的通解钱明忠陈友朋(盐城师范学院数学科学学院江苏盐城224002)摘要给出常微分方程通解的定义,研究常微分方程的通解和所有解之间的关系,给出通解包含所有解的若干充分性条件.关键词通解;常数独立;所有解中图分类号O175.1常微分方程的通解和所有解是两个不同的概念,但不少教材未将这两个概念说清楚,甚至于将两者混淆起来,例如文献[1][2]等,给学生
2、理解和求解常微分方程带来了困难.事实上,有些方程2dy1-y的通解就不包含所有解.例如方程=的通解为arcsiny=arcsinx+C,其中C为任意常dx1-x2dyyy2数,而y=1也是该方程的解,它不包含在通解之中;又如y=0是方程=-()的一个解,dxxxx它不包含在该方程的通解y=(C为任意常数)之中.ln
3、x
4、+C本文将给出常微分方程通解的定义,同时研究常微分方程的通解和所有解之间的关系,然后给出通解包含所有解的若干充分性条件,证明过程突出通解定义中的常数独立条件的验证这一关键,为进一步区分通解和所有解带来了方便.考虑如下一般的n阶常
5、微分方程ndydyF(x,y,,!,n)=0.(1)dxdx定义若函数y=(x,c1,c2,!,cn)是方程(1)的解,且其中的任意常数c1,c2,!,cn独立,(n-1)即,,∀,!,关于c1,c2,!,cn的雅可比(Jacobi)行列式(n-1)D(,∀,!,)#0,D(c1,c2,!,cn))(k)其中(k=1,2,!,n-1)表示对x的k阶导数.则称y=(x,c1,c2,!,cn)为常微分方程(1)的通解.如果关系式(x,y,c1,c2,!,cn)=0所确定的隐函数y=(x,c1,c2,!,cn)为方程(1)的通
6、解,则称关系式(x,y,c1,c2,!,cn)=0为方程(1)的隐式通解,也简称为方程(1)的通解.对于一般的常微分方程,其通解不一定包含所有解而仅仅是所有解的一部分.但在一些特殊情形下,方程的通解包含它的所有解.例如,n阶线性微分方程nn-1dydydyn+a1(x)n-1+!+an-1(x)+an(x)y=f(x),(2)dxdxdx其中ai(x)(i=1,2,!,n)及f(x)为区间[a,b]上的已知连续函数,则有如下结论:定理1设y1(x),y2(x),!,yn(x)为方程(2)所对应的齐次线性方程nn-1dydydyn+a1(x)n
7、-1+!+an-1(x)+an(x)y=0dxdxdx*收稿日期:2006-02-08;修改稿:2007-05-25.第10卷第4期钱明忠,陈友朋:常微分方程的通解107的基本解组,y(x)为方程(2)的一个特解,则方程(2)的通解为y=c1y1(x)+c2y2(x)+!+cnyn(x)+y(x),(3)其中c1,c2,!,cn为任意常数,且通解(3)包含了方程(2)的所有解.证明由线性方程解的叠加原理知,(3)式是方程(2)的解,又雅可比行列式y1(x)y2(x)!yn(x)D(y,y∀,!,y(n-1))y1∀(x)y
8、2∀(x)!yn∀(x)==D(c1,c2,!,cn)(n-1)(n-1)(n-1)y1(x)y2(x)!yn(x)W[y1(x),y2(x),!,yn(x)]#0,x∃[a,b].所以(3)式中的任意常数c1,c2,!,cn相互独立,从而(3)式为方程(2)的通解.关于(3)式包含方程(2)的所有解的结论,可以利用线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理进行证明,可参见文献[3],这里从略.如果微分方程为一阶方程,且可以写成如下对称形式M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.(4)其中M(x,y),N(x,y)在(4)无奇点的单连通区域D内连续
9、可微.所谓无奇点是指在D中22M(x,y)dx+N(x,y)dy#0.定理2如果方程(4)为全微分方程,即存在二元连续可微函数u(x,y)使M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y),则此时方程(4)的通解为u(x,y)=C,其中C为任意常数,且通解包含了方程(4)的所有解.u证明不妨设N(x,y)#0即#0,根据隐函数存在定理,关系式u(x,y)=C可唯一确定y一个隐函数y=(x,C),则有u[x,(x,C)]%0,两边关于x求微分得du[x,(x,C)]%0.即M[x,(x,c)]dx+N[x,(x,c)]d(x,c)
10、%0.这表明y=(x,C)为全微分方程(4)的解,又由隐函数的可微性定理.11==#0,CuN(x,y)y所以y=(x,C)中的任
