面积最值问题

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1、最值问题教学设计同学们，提到数学你的第一反应是什么？。。。抽象。。逻辑性强。。。其实不然，数学源于生活，更服务于生活。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之便，生物之谜，日用之繁等诸多方面，无一处不用到数学。下面，我们来看一段新闻。。。今天，让我们也来经历一次“大国工匠”之旅。请看大屏幕1.问题探究如果一个正方形的四个顶点分别在三角形的各边上，那么就称这个正方形为此三角形的内接正方形．(1)如图①，△ABC为锐角三角形，请你在锐角△ABC内作一个内接正方形；(2)如图②，在等边△ABC中，边长为（3+），请你作出其内接正方形EFGH，并计算正方形EFGH的

2、边长；问题解决(3)如图③，有一块圆心角为60°，半径为a的扇形材料AOB，工人师傅为了截取面积较大的正方形以备后期工作使用，选择方案如下：作∠AOB的角平分线，交于点C，取OA、OB、、的中点，并顺次连接，则所得四边形为所截取的正方形，请你尝试探究工人师傅所采取的方案是否能截取面积最大的正方形？若是，请求出该正方形的面积；若不是，请说出你的方案，并写出所截取正方形的最大面积．.(1)【思维教练】先作一个小正方形，使其一条边在三角形的一边上，且有一顶点在另一条边上，然后以B为位似中心，作出与其位似且第四个顶点恰好在第三边上的正方形．解：如解图①所示：在△ABC内先

3、作一个小正方形IJPQ，使得IJ边恰好在BC边上，且点Q恰好在AB边上，连接BP并延长交AC于点G，过点G作GH∥BC，交AB于H点，过点G作GN⊥BC，过点H作HM⊥BC，垂足分别为N，M，则正方形MNGH即所要求作的锐角△ABC的内接正方形．第1题解图(2)解：按照(1)的做法，即正方形EFGH为等边△ABC的内接正方形，如解图②，设正方形EFGH的边长为x∵△ABC为等边三角形，∴AE＝BF＝x，∴x＋x＝3＋，∴x＝∴四边形EFGH的边长为(3)【思维教练】要判断所截取的正方形是不是面积最大的正方形，即用(1)的方法作扇形的内接正方形并求出所作正方形的面积

4、，与工人师傅所截取正方形面积作比较，即可得出正方形的最大面积．解：工人师傅采取的方案所截取的正方形不是面积最大的正方形．理由如下：新方案如解图③，正方形EFGH的作法同问题(1)的作法一致，采用位似的有关知识；设正方形EFGH的边长为x，根据题意可知：OF＝＝＝x，OG＝OF＋FG＝x＋x，根据勾股定理可得：OG2＋HG2＝OH2，而OH为扇形AOB的半径，故可得方程：(x＋x)2＋x2＝a2，解得x2＝，故S正方形EFGH＝x2＝，而问题(3)中工人师傅所截取的正方形面积S＝a·a＝a2，∵S＝a2＝a2，12＝7＋5，5＞2，∴＜，∴新方案所截取的正方形面积最

5、大，其最大面积为.4.如图，在边长为（３＋）的正三角形ＡＢＣ中放入正方形ＤＥＭＮ和正方形ＥＦＰＨ，使得ＤＥ、ＥＦ在边ＡＢ上，点Ｐ、Ｎ分别在边ＣＢ、ＣＡ上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．解：如解图，连接NE，EP，PN，则∠NEP＝90°.设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n)，它们的面积和为S，解得m+n=3小结：本节课我们学习了如何在一个已知图形中寻找面积最值问题，主要的求解思路有两种：1.用几何知识在图形中找到最值位置再求解；2.利用函数思想求解.