4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系

4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系

ID:38977166

大小:1.19 MB

页数:5页

时间:2019-06-22

4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系_第1页
4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系_第2页
4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系_第3页
4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系_第4页
4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系_第5页
资源描述:

《4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题1(2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数.如果对任意,求的取值范围.(答案:.)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数.证明:若,则对任意,有.题3(2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数,记为满足下述条件的函数构成的集合:R且,有.下列结论中正确的是()(答案:C.)A.若,则B.若且,则C.若,则D.若且,则题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数的导函数是,是不相等的正数,求证:.深入研究这四道高考题(除题8是

2、选择压轴题外,其余三道都是解答压轴题的最后一问),可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系:定理设R,函数在区间上可导,则(1)有;(2)有且区间,当时不能恒成立;(3)有;(4)有且区间,当时不能恒成立;(5)有;(6)有且区间,当时及均不能恒成立;(7)有;(8)有且区间,当时及均不能恒成立.为证明定理,须介绍两个引理,它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2]):引理1若函数在区间上可导,则在上单调不减(不增)的充要条件是在时恒成立.(注:若有,则称在区间上单调不减(不增).)引理2若

3、函数在区间上可导,则在上严格递增(递减)在上且对于任意的区间,当时不能恒成立.(注:若有,则称在区间上严格递增(递减).)定理的证明设.(1)左边有有在上单调不增右边.(2)左边有有在上严格递减(用引理2,这里省去了一些文字的叙述,下同)右边.(3)同(1)可证.(4)同(2)可证.(5)左边有有右边.(6)左边有有右边.(7)有有或有或或或(8)同(7)可证.题5已知函数R的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1,求的取值范围.解由定理9(2),得在R时恒成立,即恒成立,所以.所以所求的取值范围是.

4、注由定理9(1)知,若把例1中的“小于”改成“不大于”,所得答案不变.还可验证:当时,的图象上任一割线的斜率小于1,但图象在拐点(即凹凸性的分界点,其二阶导数值为0,参见文献[2]或[3])处切线的斜率为1(图1).图1题6(2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数R(1)若函数的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1,求证:;(2)若,且函数的图象上任意一点处的切线斜率为k,试证明的充要条件为.由题5的结论可知,题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的).下面用定理给出题1~4的简解.题3的

5、简解即满足条件“R,有”的函数构成的集合.由定理(6),得即满足条件“R且对于任意的区间,当时及均不能恒成立”的函数的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C成立(且可排除选项A、B、D),所以选C.题2的简解由定理(4)知只需证明“当时且只能在一些孤立点上成立”:所以要证结论成立.(并且还可得:当时,结论也成立.)题1的简解.由定理(7)知题设即在时恒成立,由及均值不等式可得所求的取值范围是.注下面把题1中的题设“”改成“R”,再来求解:此时题意即“在时恒成立,求的取值范围”.当时,已得;当时,可得函

6、数是单调减函数,可得此时不满足题设;当时,由均值不等式可得.所以所求的取值范围是.题4的简解设,即证.由定理(8)知,只需证明:当时,即只需证即这由均值不等式及题设可证:所以欲证成立.注由以上简解知,把题4中的“”改成“”后所得结论也成立.参考文献1刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].3版.北京:高等教育出版社,19922华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].3版.北京:高等教育出版社,2001

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。