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1、河北工业大学硕士学位论文符号说明Tα0,α1,,αm 1非齐次树(Ω,F,P)概率测度空间ω样本点E[XjG]条件数学期望B(R)实数集R上的Borelσ-代数IA()集合A上的示性函数jTnj树T上从第0层到第n层所有顶点的个数ftn(λ,ω)g鞅v河北工业大学硕士学位论文第一章绪论20世纪70年代诞生的随机场这一概率论与统计物理的交叉学科，一方面为统计物理提供了严格的数学工具，另一方面也扩充了概率论的研究领域。树上的马氏链场是一类特殊的随机场，是将马氏链推广到树指标集的情形。树模型近年来已引起物理学、概率论及信息论界的广
2、泛关注，树指标随机过程也已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一。而极限定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一,对极限定理的研究不仅对概率论和随机过程自身的发展有很大意义，而且在统计学中统计量的分析及排队论的逼近理论中亦有着广泛应用。关于树上马氏链场的早期研究可追溯至1975年,Spitzer[1]定义了无限树上的马尔可夫随机场。Benjamini和Peres[2]引入了树上马氏链及树指标随机游动的概念并研究了其上的正常返性。叶中行和Berger[3]研究了树图T上G不变随机场的熵率存在性。Pemantle[4]证明了齐次树上P
3、PG-常数和遍历随机场上的混合性和弱大数定律。之后叶中行和Berger[5]又研究了PPG不变随机场的具有依概率收敛性质的Shannon-McMillan定理。杨卫国与刘文[6]研究了Bethe树图上二值马氏链场的渐近均分割性。杨卫国和叶中行[7]给出了Cayley树图上奇偶马氏链场的渐近均分割性。近些年来关于极限定理的研究也有了很大的进展，朱成熹[8]等研究了可列非齐次马氏链函数的强大数定律。刘文教授[9]提出了研究强极限定理的分析方法，并用该方法研究了非齐次马氏链的若干强极限定理。金少华[1012]给出了对任意可列非齐次马氏链
4、普遍成立的若干强极限定理。汪忠志、杨卫国[13]利用鞅方法给出了二重非齐次马氏链及其随机变换的若干极限定理。王康康[14]研究了三阶可列非齐次马氏链状态序组随机和的一类强极限定理，后又在文献[15]中给出了任意随机适应序列关于广义随机选择系统的一类极限定理。檀亦丽等[16]给出了连续状态非齐次马氏链的强极限定理。王薇和李文汉[17]给出了基于Laplace变换的连续型随机变量的强偏差定理。关于树模型上马氏链的极限性质也有一些研究，杨卫国在文献[18]中给出并证明了齐次树图上马氏链的强极限定理及具有a.e.收敛性质的Shannon-M
5、cMillan定理。金少华[1920]通过构造辅助鞅研究了一类非齐次树上的Shannon-Mcmillan定理以及该树上随机场的马尔可夫逼近。本文通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理[2123]应用于几乎处处收敛的研究。本文主体内容分为三大部分：第一部分研究一类非齐次树上可列状态马氏链广义随机选择的若干强极限定理。第二部分通过构造n元乘积密度函数与适当的非负鞅，研究了一类非齐次树上连续状态马氏链广义赌博系统的强极限定理。第三部分研究了一类非齐次树上基于Laplace变换的连续状态r重马氏链的强偏差定理。1关于树上马氏链场的
6、若干强极限定理第二章预备知识设T是一个无限树，x,y是T中任意两个顶点，则存在唯一的从x到y的路径x=z1,z2,,zm=y,其中z1,z2,,zm互不相同，且zi与zi+1为相邻的两顶点。m 1称为x到y的距离。为给T中的顶点编号，我们选定一个顶点作为根顶点并记之为O。如果一个顶点与根顶点的距离为n，则称此顶点为第n层上的顶点。为统一起见，也称根顶点为位于第0层上的顶点。定义2.1设T是一个具有根顶点O的无限树，fNn,n1g是一列正整数集，如果第n(n0)层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，则称T
7、为广义Bethe树或广义Cayley树。特别地，对非负整数集N，用模m(m2)的同余关系对其分类得到模m的剩余类:(0)=f0,m,2m,g(1)=f1,m+1,2m+1,g(m 1)=fm 1,2m 1,3m 1,g当n2(i)时，令Nn+1=αi（αi均为正整数且不同时为1），i=0,1,2,,m 1,就得到了一类非齐次树Tα0,α1,,αm 1。设σ,t是树图T上任两个顶点，如果σ处在从O到t的唯一路径上，则记为σt，并记jtj为这个路径的边数。显然若jtj=n,则t是处于第n层上
8、的顶点。对于树图T上的任两个顶点σ,t,记σ^t是满足σ^tσ,σ^tt且离O最远的顶点。设t,O,记t¯是满足t¯t且jt¯j=jtj 1的顶点，即t是t¯的子代。以下恒以T表示树Tα0,α1,,αm 1,以Ln表示第n
