§6.6 二元函数的极值

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1、定义6.6.1对于该邻域内的任意点(x,y),若恒有不等式极大值与极小值统称为极值.例如：在点处取得极小值.在点处取得极大值.函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)某邻域内有定义,则称该函数在点P处有极大值使函数取得极值的点统称为极值点.在点既不取得极大值也不取得极小值.则称该函数在点P处有极小值§6.6二元函数的极值6.6.1二元函数的极值1定理6.6.1(必要条件)设函数在点处偏导数存在,并取得极值,则证明:不妨设在点处取得极大值.则,特别地,取有由一元函数极值必要条件知,同理,使同时成立的点,的驻点

2、.称为函数在x=x0点取得极大值，考虑一元函数2注意:1)若极值点的偏导数存在，极值点必是驻点.2)函数的驻点不一定是极值点.例3)函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.但在(0,0)点取得极小值例4)函数的极值点：驻点不存在,不存在偏导数不存在的点3定理6.6.2(充分条件)令(1).若有极值,(2).若(3).若情况不定.且设函数在点某邻域内及二阶连续偏导数,且有一阶是极大值.是极小值.不是极值.注意：结论(1)中的A换为C结论不变。4例1.求函数的极值.解:得驻点:在点处,,有极小值在点处,,无极值.

3、,无极值.有极大值,,在点处,在点处,解方程组5步骤：（2）对每个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A,B,C.（3）应用定理4.9判定得出结论。（1）求求出驻点(x0,y0)并令求函数极值的方法和步骤.6最大值、最小值对于区域D内任一点,若恒有不等式在平面区域内有定义,设函数最大值与最小值统称为最值.例如：在点处取得最小值0.在点处取得最大值2.则称该函数在点处有最大值使函数取得最值的点统称为最值点.则称该函数在点处有最小值7最大值、最小值的求法最值点（1）边界点求出该函数在这些点上的函数值，比较大小

4、即可求得最值在有界闭区域上连续，则一定有最值。设函数（2）驻点（3）偏导数不存在的点若根据实际问题确定函数的最值在区域D内部点取到，而函数在D内有唯一驻点，没有偏导数不存在的点，则可断定函数在此驻点上取到最值。极值点8例2.某厂要用铁板做成一个体积为8立方米的有盖长方体水箱.问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解:则由体积水箱所用材料即水箱表面积设水箱的长、宽、高分别为米，可得令得唯一驻点(2,2).根据实际问题，S一定存在最小值.因此,当x=2米,y=2米,z=2米时，表面积S取得最小值24平方米.即

5、当水箱的长，宽，搞相等时，所用材料最省.9求函数在约束条件下的极值。拉格朗日乘数法：（1).构造拉格朗日函数:其中常数称为拉格朗日乘数.(2).解方程组：解得则点(x,y)可能为极值点.(3).判断(x,y)是否为极值点.(一般情况下根据实际问题的实际意义可以判断)6.6.2条件极值拉格朗日乘数法10推广求函数在约束条件下的极值.(1)构造拉格朗日函数:(2)解方程组解得(3)判断(x,y,z)是否为极值点.11再解例2.例2.某厂要用铁板做成一个体积为8立方米的有盖长方体水箱.问选择怎样的尺寸，才能使所用

6、的材料最省？解:则问题变为求设水箱的长、宽、高分别为米，令得唯一驻点(2,2,2).此驻点即为最小值点.因此,当x=2米,y=2米,z=2米时，表面积S取得最小值24平方米.即当水箱的长，宽，高相等时，所用材料最省.在约束条件下的最小值.作拉格朗日函数:12解:问题即为:在约束条件下的最大值.求解方程组令得此唯一驻点即为最大值点.购买两种原料A、B的数量分别为100，25时,可使产量最大.例3.设生产某种产品的产量Q与所用两种原料A、B的数量x，y间的关系式为：Q=0.005x2y，已知A、B两种原料的单价

7、分别为1元和2元，现有150元，问应如何购料，可使产量最大?13解拉格朗日函数:联立解得所求距离为:例4求由一定点到平面距离.为平面上的一点，设点到点的距离问题可归结为:在约束条件下的最小值.求14