《ch4留数定理》PPT课件

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1、第四章留数定理及其应用§4.1留数定理留数定理1：D为有界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除孤立奇点z=zk,k=1(1)n外解析，上除zk外连续，则其中Resf(zk)表示函数f(z)在点z=zk邻域洛朗展开式中负一次幂项系数，成为函数f(z)在孤立奇点zk处的留数(residue)证明的基本思想：利用解析函数的积分特征和级数特征使用Cauchy定理改变积分路线利用Laurent展开来计算积分证：由Cauchy第二定理，有利用zk邻域的Laurent展开式，有定义留数定理2：D为无界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除

2、孤立奇点z=zk（有限）,k=1(1)n和zn+1=∞外解析，上除zk外连续，则证：几点说明：即使z=∞是可去奇点（或解析点）Resf(∞)也可能不为零留数定理1和2合起来叙述：沿有限长边界正向积分=2pi(其内所有孤立奇点的留数和)函数f(z)在全复平面所有奇点的留数之和为零留数计算：基本方法：计算积分求孤立奇点邻域Laurent展开负一次幂项系数特殊方法：线性性质有限（m阶）极点处留数无穷远孤立奇点处留数（非本性奇点）证：设z0是f(z)的m阶极点z0是f(z)的m阶极点求m-1阶导数：一阶极点在z=z0解析，且z0是的一阶零点证：

3、设∞是f(z)的m阶极点例1求在处的留数例2求在其奇点处的留数其极点为例3求在其奇点处的留数。单极点2i，三阶极点0例4求函数在所有有限孤立奇点和无穷远点处的留数例5求积分Oxy1iOxy1iz1z2§4.2定积分计算问题的提出：处理问题的基本思想：用留数定理计算积分变换：abl1xxyc变换：积分曲线变换（自变量变换）被积函数和积分曲线同时变换辅助函数和辅助闭曲线类型I三角函数的有理式积分如果令z=eix,则积分路径变成单位圆的围道积分。•2xyOz平面•1x•0因为原积分变成•2xyOz平面•1x•0例1求积分例2求积分被积函数

4、有单极点积分的柯西主值：一般广义积分定义为当R1=R2时，称为I的积分主值一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！类型II无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上时，一致地zf(z)0；-R+RyCR•zkORx类型II无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在下半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在下半平面和实轴上时，一致地zf(z)

5、0；-R+RyCR•zkORx例3求积分例4求积分类型III无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上时，一致地f(z)0；-R+RyCR•zkORx约当(Jordan)引理：一致地如果m<0,应改为下半平面计算Oy1例5求积分例6求积分类型IV无穷限和无穷值混合广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上有有限个单极点xj,j=1(1)N，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上

6、时，一致地zf(z)0；•CRCj-RRO•CRCj-RRO•CRCj-RRO例7求积分小结留数定理——柯西定理的特殊情况积分回路所围区域中只有被积函数的孤立奇点通过留数定理计算定积分将积分计算转化为孤立奇点处留数的计算本章基本要求：了解留数的意义，熟练掌握留数的求法熟练掌握利用留数定理计算实自变量函数的定积分的方法