递归数列和数学归纳法

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1、数列专题递归数列和数学归纳法★★★高考在考什么【考题回放】1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于(A)A.4B.2C.1D.-22.在数列中,,且,则35.3.在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.4.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是  2n+1-2.5.已知n次式项式.若在一种算法中,计算的值需要k-1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),则计算P10(x0)

2、的值共需要65次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,…,n-1).利用该算法,计算P3(x0)的值共需要6次运算,计算Pn(x0)的值共需要2n次运算.yx6.已知函数f(x)=,数列|x|(x>0)的第一项x=1,以后各项按如下方式取定:曲线x=f(x)在处的切线与经过(0,0)和(x,f(x))两点的直线平行(如图).求证:当n时,(Ⅰ)x(Ⅱ).【解答】(I)证明:因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是以.(II)因为函数,当时单调递增,而,所以,

3、即因此又因为令则因为所以因此故★★★高考要考什么【考点透视】本专题是等差(比)数列知识的综合应用,同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考是以能力立意命题的原则.【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型:(1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力.(2)给出Sn与an的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力.(3)以函数、解析几

4、何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力.理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列.★★★突破重难点【范例1】已知数列中,对一切自然数,都有且.求证:(1);(2)若表示数列的前项之和,则.解析:(1)由已知得,又因为,所以,因此,即.(2)由结论(1)可知,即,于是,即.【点睛】从题目的结构可以看出,条件是解决问题的关键,必须从中找出和的关系.【文】记(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;(Ⅱ)求数列的通项公式及数列的前n项和解析(I)整理得(Ⅱ)由所以【范例2】设数列的前项的和,(Ⅰ)求首

5、项与通项;(Ⅱ)设,,证明:解析(Ⅰ)由Sn=an-×2n+1+,n=1,2,3,…①得a1=S1=a1-×4+所以a1=2.再由①有Sn-1=an-1-×2n+,n=2,3,4,…将①和②相减得:an=Sn-Sn-1=(an-an-1)-×(2n+1-2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n-2n,n=1,2,3,…(Ⅱ)Sn=×(4n-2n)-×2n+1+=×

6、(2n+1-1)(2n+1-2)=×(2n+1-1)(2n-1)Tn==×=×(-)所以=-)=×(-)<【点睛】Sn与an始终是我们的重点,需要我们引起重视;注意总结积累数列不等式放缩的技巧.【文】设数列的前n项和为Sn,若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.(1)求数列的通项公式(用S1和q表示);(2)试比较的大小,并证明你的结论.解析(1)∵是各项均为正数的等比数列,∴.当n=1时,a1=S1;当.∴(2)当n=1时,∴.当时,∵①当q=1时,②当③当综上可知:当n=1时,.当若若【范例3】由坐标原点O向曲线引切线,切

7、于O以外的点P1,再由P1引此曲线的切线,切于P1以外的点P2),如此进行下去,得到点列{Pn}}.求:(Ⅰ)的关系式;(Ⅱ)数列的通项公式;(Ⅲ)当时,的极限位置的坐解析(Ⅰ)由题得过点P1(的切线为过原点又过点Pn(的因为过点Pn-1(整理得(Ⅱ)由(I)得所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列(法2)通过计算再用数学归纳法证明.(Ⅲ)的极限位置为(【点睛】注意曲线的切线方程的应用,从而得出递推式.【文】数列的前项和为,已知(Ⅰ)写出与的递推关系式,并求关于的表达式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.解析由得,即,所以,对成立.由,,…,

8、相加得,又,所以,当时,也成立.(Ⅱ)由,得.而,,.【范例4】设点(,0),和抛物线:y=x2+anx+bn(n∈N*),其中an=-2-4n-,由以下方法得到:x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:

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