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1、数列专题递归数列和数学归纳法★★★高考在考什么【考题回放】1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an-1)，则a2等于(A)A.4B.2C.1D.-22．在数列中，，且，则35．3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 2n+1-2.5．已知n次式项式.若在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）
2、的值共需要65次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要2n次运算.yx6．已知函数f(x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，(Ⅰ)x（Ⅱ）.【解答】(I)证明：因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是以.（II）因为函数，当时单调递增，而，所以，
3、即因此又因为令则因为所以因此故★★★高考要考什么【考点透视】本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几
4、何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★★★突破重难点【范例1】已知数列中，对一切自然数，都有且．求证：(1)；(2)若表示数列的前项之和，则．解析：(1)由已知得，又因为，所以,因此，即．(2)由结论(1)可知，即，于是，即．【点睛】从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和的关系．【文】记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和解析（I）整理得（Ⅱ）由所以【范例2】设数列的前项的和，（Ⅰ）求首
5、项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解析(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2.再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…(Ⅱ)Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×
6、(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以=－)=×(－)<【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．【文】设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.（１）求数列的通项公式（用S1和q表示）；（２）试比较的大小，并证明你的结论.解析（１）∵是各项均为正数的等比数列，∴．当n=1时，a1=S1；当．∴（２）当n=1时，∴．当时，∵①当q=1时，②当③当综上可知：当n=1时，．当若若【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切
7、于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{Pn}}.求：（Ⅰ）的关系式；（Ⅱ）数列的通项公式；（Ⅲ）当时，的极限位置的坐解析（Ⅰ）由题得过点P1（的切线为过原点又过点Pn（的因为过点Pn-1（整理得（Ⅱ）由（I）得所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列（法2）通过计算再用数学归纳法证明.（Ⅲ）的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．【文】数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．解析由得，即，所以，对成立．由，，…，
8、相加得，又，所以，当时，也成立．（Ⅱ）由，得．而，，.【范例4】设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋anx＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：
