群的定义(离散数学)

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1、§6.2群的定义6.2.1半群6.2.2群6.2.3群的性质6.2.1半群--半群的定义设G是一个非空集合，若·为G上的二元代数运算，且满足结合律，则称该代数系统（G，·）为半群。6.2.1半群--半群的例例.设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算，则（ρ（S），∩），（ρ（S），∪）都为半群。例.设Z为整数集，+、-、·是数的加法、减法和乘法，则（Z，+）、（Z，·）都是半群；（Z，-）不是半群。半群的例例.设N为自然数集，规定N上的运算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b，显然，⊙为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a，b，c，有：（a⊙b）⊙

2、c=（a+b+a·b）⊙c=（a+b+a·b）+c+（a+b+a·b）·c=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，a⊙（b⊙c）=a⊙（b+c+b·c）=a+（b+c+b·c）+a·（b+c+b·c）=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，故，（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）.因此，（N，⊙）为半群。设（G，·）为半群，如果满足下面条件：(1)有壹（单位元）：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;(2)有逆：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足a·a-1=a-1·a=1，则称（G，·）为群。如果群G包含的元素个数有限，则称G为有

3、限群，否则称G为无限群。6.2.2群--群的定义6.2.2群--群的例设Z为整数集，+、·是数的加法和乘法，则半群（Z，+）是群，称为整数加法群。因为存在元素0，适合对于Z中任意元素a，都有0+a=a+0=a；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个元素-a，满足a+（-a）=（-a）+a=0。半群（Z，·）不是群。因为虽然存在单位元素1，适合对于Z中任意元素a，都有1·a=a·1=a，但除了1和-1外，其它元素均无逆元素。设Q为所有有理数组成的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合，R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+

4、、·是数的加法和乘法，则（Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群；（Q，·）、（R，·）、（C，·）都不是群；（Q*，·）、（R*，·）、（C*，·）都是群。6.2.2群--群的例设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算，则半群（ρ（S），∩）不是群，单位元素:S，但除了S，其它元素都不存在逆元素；半群（ρ（S），∪）也不是群，单位元素：，但除了，其它元素都不存在逆元素。6.2.2群--群的例设N为自然数集，规定N上的运算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b。已证：（N，⊙）为半群。但（N，⊙）不是群。反证：若不然，（N，⊙）是群，则一定有单位元素，

5、设为e，则对N中任意元素a，都有e⊙a=a，即e+a+e·a=a，因此，e=0，但0N，矛盾。因此，（N，⊙）无单位元素，故不是群。6.2.2群--群的例例.设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则（A，*）是群。例.设S={0，1，2，……m-1}，规定S上的运算⊕如下：a⊕b=其中a，b是S中任意元素，+、-为数的加与减。则（S，⊕）是群，称为模m的整数加法群。6.2.2群--群的例设S={a,b}，使用乘法表定义S上的运算·如下：·abaabbba问（S,·）是否为群。6.2.2群--群的例G={1,-1}关于普通乘法运算是否构成一个群？G={1,-1,i,-

6、i}关于普通乘法运算是否构成一个群？其中i=(-1)1/2.理解群的定义例.单位元是群中唯一的等幂元。证明：设(G,*)是群，其单位元是1，显然，1是等幂元。设x是G中的等幂元，即x*x=x，则：x=1*x=（x-1*x）*x=x-1*（x*x）＝x-1*x=1（或由x*x=x，得x-1*x*x=x-1*x，即x=1）理解群的定义例.群中不可能有零元。证明：设(G,*)是群，其单位元是1，当│G│=1，它的唯一元素视为单位元。当G>1，用反证法。假设（G，*）有零元，则对xG，都有x*=*x=1，即不存在xG，使得x*=*x=1，亦即，无逆元，这与G是群矛盾。

7、理解群的定义例.群中消去律一定成立。证明：设(G,*)是群，其单位元是1，对于G中任意三个元素a，b，c，（1）若a*b=a*c，则a-1*(a*b)=a-1*(a*c)，即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c，亦即1*b=1*c，故b=c。（2）同理可证：若b*a=c*a，则b=c理解群的定义例.①元数为1的群仅有1个②元数为2的群仅有1个*eee*eaeeaaae定理6.2.1群的单位元素是唯一的,任意元素的逆也是唯一的。即,设（G，·）