行列式克莱姆法则

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1、§11.2行列式一.行列式的定义1.二阶行列式与三阶行列式2.n阶行列式二.行列式的性质三.行列式按行（列）展开定理及其推论四.方阵乘积的行列式五.克莱姆法则用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入方程组的解为由方程组的四个系数确定,且为一个数.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线次对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线

2、法则只适用于二阶与三阶行列式．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例２解按对角线法则，有例3解方程左端补充定义一阶行列式为：观察：有什么特点？2.类似地，定义四阶行列式为：3.由归纳法，从上面可以看出，可以给出任意阶行列式的定义：(1)（余子式的定义）设n-1阶方阵的行列式已经定义，对于n阶方阵去掉A的第i行和第j列，其余元素不动所构成的n-1阶方阵的行列式称为元素的余子式。如：解：(2)n阶行列式

3、A

4、的定义：规定n阶行列式

5、A

6、为下式的值：记为：（也将

7、A

8、记为D或Dn）。也称之为行列式

9、A

10、按第

11、一行的展开式。例2.计算下列行列式：解：按第一行展开有结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等于它的主对角线上的元素的乘积。二、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如数乘行列式等于数乘行列式的某一行(列）的所有元素。证明则D等于下列两个行列式之和：例如性质7把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如例１二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列

12、式的值．解说明：利用性质7，可将行列式化为上三角行列式所有列的元素之和相等所有列的元素之和相等三.行列式按行（列）展开定理及其推论n阶行列式

13、A

14、的元素的余子式为，令：叫做的代数余子式。按第i行展开按第j列展开说明：利用此性质，可对行列式进行降阶运算----称之为降阶法。选取零元素较多的行（列）展开定理1.3n阶行列式

15、A

16、的值等于它的任一行（列）的元素与其相应的代数余子式乘积之和。即：例1证用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理

17、相同关于代数余子式的重要性质例3计算行列式解按第一行展开，得例４计算行列式解四.方阵乘积的行列式定理两个n阶方阵A与B乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积，即

18、AB

19、=

20、A

21、

22、B

23、推论1设A1，A2，…，Am是m个n阶方阵，则

24、A1A2…Am

25、=

26、A1

27、

28、A2

29、…

30、Am

31、定义11.9如果

32、A

33、0，则称n阶方阵A为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。推论2设A，B是两个n阶方阵，则AB为奇异方阵的充分必要条件是A，B中至少有一个是奇异方阵。方阵A的行列式

34、A

35、的运算性质：例4：小结(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行

36、列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．行列式的6个性质3.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.思考题求第一行各元素的代数余子式之和思考题解答解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念五、克莱姆法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为二、重要定理定理1

37、如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.定理2如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理定理如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解.定理如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.有非零解.系数行列式例1用克莱姆则解方程组解例2用克莱姆法则解方程组解例3问取何值时，齐次方程组有非零解？解齐次方程组有非零解，则所以或时齐次方程组有非零解.