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1、洛必达法则定义若当(或时,两个函数与都趋于零或都趋于无穷大,则极限称为或型未定式.例如,定理设(1)函数及都趋于零;(2)时,当的某领域内(点本身可除外),在点洛必达法则定理设(1)函数及都趋于零;(2)时,当的某领域内(点本身可除外),在点洛必达法则定理设(1)函数及都趋于零;(2)时,当的某领域内(点本身可除外),在点(或为无穷大),那么及都存在且(3)存在注:1.上述定理仍然成立;时,当2.也有与上述型未定式或对洛必达法则注:1.上述定理仍然成立;时,当2.也有与上述型未定式或对洛必达法则注:1.上述定理仍然成立;时,当2.也有
2、与上述定理完全类似的结论:我们把这种在一定条件下导法则.型未定式或对通过对分子分母分别求再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达完例1解求原式例2解求原式注:上式中,已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.完例3解求完例4解求注:若求则可利用上面求出的函数极限,得完例5解求完例6解求原式例7解求反复应用洛必达法则次,得原式例7解求反复应用洛必达法则次,得原式例7解求反复应用洛必达法则次,得原式注:对数函数幂函数指数函数均为当时的无穷大,但它们增大的速度很不一样,其增大速度比较:对数函数<<幂函数<<指数函数.完例8解求所以注:洛必达法
3、则但若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.例如,能化简时应尽可能先化简,虽然是求未定式的一种有效方法,当时,例8解求所以注:洛必达法则但若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.例如,能化简时应尽可能先化简,虽然是求未定式的一种有效方法,当时,例8解求所以注:洛必达法则但若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.例如,能化简时应尽可能先化简,虽然是求未定式的一种有效方法,当时,可以应用等价无穷小替换或重要极限时,应尽可能应用,以使运算尽可能简捷.完例9解求所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后,将化为此式振荡无极限,故
4、洛必达法则失效,不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:完例10解求对于型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.完例11求解可利用通分化为型的未定式对于型,来计算.完例求解完例求解型步骤取对数完例13求解将它变形为由于故完例14求解完
