矩估计和极大似然估计

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1、二、极大似然估计法一、矩法估计第七章参数估计三、估计量的评选标准四、置信区间参数估计参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息估计湖中鱼数……估计平均降雨量来估计总体的某些参数或者参数的某些函数。统计推断：参数估计和假设检验。参数估计要解决问题:总体分布函数的形式为已知,需要确定未知参数。但其中参数θ未知时，这类问题称为参数估计问题。只有当参数θ确定后，才能通过率密度函数计算概率。对于未知参数，如何应用样本所提供的信息去对其一个或多个未知参数进行估计。参数估计是对已知分布类型的总体，参数估计点估计区间估计矩估计极大似然估计参数估计可作如下划分利用样本对其未知参数作出估计1.矩估计

2、2.极大似然估计3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.寻求估计量的方法点估计问题：构造一个适当的统计量用它的观察值来估计未知参数θ.称为θ的估计量，为θ的估计值.参数估计：点估计:估计θ的具体数值;区间估计:估计θ的所在范围.第七章第一节矩法估计二、常用分布参数的矩法估计一、矩法估计一.矩估计法故用样本矩来估计总体矩基本原理：总体矩是反映总体分布的最简单的数字特征，当总体含有待估计参数时，总体矩是待估计参数的函数。样本取自总体，样本矩在一定程度上可以逼近总体矩，由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。其中是待估参数.为来自的样本,存在,设总体的k阶矩则样本

3、的k阶矩(由大数定理)令从中解得k个方程组即为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值。设总体X的分布函数为矩估计步骤：连续型离散型所以参数p的矩估计量为例：总体X的分布列为：是来自总体X的样本，解：由于总体X的分布为二项分布，设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X例1服从下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求未知参数的过程。二、常用分布常数的矩法估计例2解注:总体均值方差的矩估计量与总体分布无关。做矩估计时,也可用中心矩建立关于未知参数的方程组，因而矩估计不唯一。λ未知，求参数λ的矩估计。例3解：解不合格品率p的矩法估计分析设总体X为抽的不合格产品数，相当于抽取了一组样本X1，

4、X2，…，Xn,且因p=EX,故p的矩估计量为设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品(即出现不合格产品的频率).例4率，抽取了n件产品进行检查.例5解θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，是X的一组样本，解设总体X的概率密度为解得例6求θ的矩估计量.其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，是X的一组样本，求μ与θ的矩估计量.解例7.设总体X的概率密度为令令注意到DX=E(X2)－(EX)2=θ2=θ2+(θ+μ)2第七章第二节极大似然估计极大似然估计极大似然法的基本思想先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你

5、推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.基本思想:若事件Ai发生了,则认为事件Ai在这n个可能结果中出现的概率最大。极大似然估计就是在一次抽样中,若得到观测值则选取若一试验有n个可能结果现做一试验,作为θ的估计值。使得当时,样本出现的概率最大。极大似然估计法:设是的一个样本值事件发生的概率为为的函数，形式已知(如离散型)X的分布列为的联合分布列为：为样本的似然函数。定义7.1即取使得：与有关,记为称为参数θ的极大似然估计值。称为参数θ的极大似然估计量。达到最大的参数作为θ的估计值。现从中挑选使概率样本的似然函数若总体X属连续型,其概率密度的形式已知，θ为待估参数；则的

6、联合密度：一般，关于θ可微，故θ可由下式求得：因此的极大似然估计θ也可从下式解得：在同一点处取极值。故似然函数为例1设是来自总体X的一个样本，试求参数p的极大似然估计值.解：设是一个样本值。X的分布列为：而令它与矩估计量是相同的。解得p的极大似然估计值p的极大似然估计量令解得设总体X的分布列为：解：似然函数为似然估计值。例2是来自总体X的样本，求p的极大令即所以参数的极大似然估计量为解例3设X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本,，求参数λ的极大似然估计值。似然函数为:例4设未知，是一个样本值求的极大似然估计量.解设的概率密度为：似然函数为等价于因为对于满足的任意有即时,

7、取最大值在似然函数为故的极大似然估计值为:故的极大似然估计量为:即时,取最大值在似然函数为今取得一组样本Xk数据如下，问如何估计θ？162950681001301402702803404104505206201902108001100某电子管的使用寿命X（单位：小时)服从指数分布例5指数分布的点估计分析可用两种方法：矩法估计和极大似然估计.1）矩法估计2）极大似然估计构造似然函数当xi>0,（i=1,2,…,n)时，似然函数为取对数建立似然方程5.得极大似然估计量：求解得极大似然估计值似然函数为：例6设