不定积分的定义及直接积分法

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1、3.1不定积分的定义及直接积分法第3章积分及其应用3.1.1原函数的概念定义3.1设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x),使得对任意x∈I,均有则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.原函数的两点说明如果函数f(x)在区间I内连续，则f(x)在区间I内存在原函数.(2)如果函数F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，即，则f(x)的所有原函数可表示为F(x)+C(其中C为任意常数）3.1.2不定积分的概念定义3.2函数f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)的积分号被积函数积分变量被积表达式任意常数例3.1求解因为所以是的一个原函数，因此例

2、3.2求解因为因此所以是的一个原函数，例3.3求解当x>0时,由于所以是在内的一个原函数.因此，在内，当x<0时，由于所以是在内的一个原函数.因此在内，把在x>0及x<0内的结果合起来，可写作微分运算与求不定积分的运算是互逆的.结论：3.1.3不定积分的性质性质1性质2（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）性质3性质4例3.4求解例如既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.3.1.4基本积分公式类似地可以得到其他积分公式.下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做基本积分表是常数);例3.5求直接积分法——直接应用公式、性质或经过简单

3、的代数、三角恒等变形后积分解根据积分公式（2）例3.6求解例3.7求解例3.8求解因为所以可把3e看作a，并利用积分公式，便得例3.9求解例3.10求解（2）三角恒等式变形例3.11求解加项减项例3.12求解加项减项例3.13设曲线经过点(0,3)且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为，试求曲线曲线方程.解设曲线方程为y=f(x),由题意知即f(x)是的一个原函数故再将x=0,y=3代入得C=2于是所求的曲线方程是：