函数的极值与最大值

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1、第三节函数的极值与最大值、最小值一、函数极值的定义二、函数极值的判定和求法三、函数的最大值和最小值1.求可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值一般方法：求出所有驻点处的函数值，并与端点的函数值直接比较即知最值。例1求函数在区间[-2,6]上的最大值和最小值。2.一个特殊情形结论：若函数f(x)在一个开区间内可导且有唯一的极值点x0，则当f(x0)为极大（小）值时，f(x0)就是f(x)在该区间内的最大（小）值。例2求函数的最大值。3.实际问题在实际问题中，若函数f(x)在某区间内只有一个驻

2、点x0，且从实际问题本身又可以知道f(x)在该区间内必有最值，则f(x0)就是所要求的最值（不必判断）。例3用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。问怎样截才能使铁盒容积最大？48x48-2x48-2xx例4如图所示的电路中，已知电源电压为E，内阻为r，求负载电阻R为多大时，输出功率最大？rER第四节曲线的凹凸与拐点一、凹凸性定义如果在某区间内的曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内为凹的；如果在某区间内的曲

3、线弧位于其上任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内为凸的。OxyABCDE例如，右图中，曲线弧ABC在区间(a,c)内是凸的；弧CDE在区间(c,b)内是凹的。acb几何上，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x的增大而增大，即为x的增函数，即>0。对于凸的曲线弧，切线的斜率随x的增大而减小，即为x的减函数，即。定理（凹凸性判定定理）设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数。（1）若在(a,b)内，则曲线y=f(x)在(a,b)内为凹的；（2）若在(a,b)内，则曲线y=f(x)在(a,b)内为凸的。凹凸

4、例1判定曲线的凹凸性。x+例2判定曲线y=x3的凹凸性。x00+y=x3二、拐点的定义和求法定义连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点。例如，例2中的点(0,0)即为曲线y=x3的拐点。拐点的求法：（1）确定函数y=f(x)的定义域（2）求出（3）令，解出这个方程在函数y=f(x)的定义域内的实根（4）对于解出的方程的每个实根x0，考察在x0左右近旁的符号。若的符号相反，则点(x0,f(x0))为拐点；否则不是拐点。例3求曲线的凹凸区间和拐点。x10+曲线y=f(x)拐点(1,-2)例4

5、判断曲线是否有拐点？三、函数图形的描绘（微分法作图）例5用微分法作函数的图象。x-1(-1,0)0(0,1)1曲线极大值拐点极小值+00+y=f(x)(0,0)0+++1-1O12-2xy-1有时，还可结合所谓水平、垂直渐近线作图。定义对于函数y=f(x)，若存在，则称直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线；若存在，则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线。例如，直线y=1及x=2分别为曲线的水平和垂直渐近线。Oyx1231y=1注意：曲线是由双曲线平移而得到的。x=2用微分法作函数图象的一般步

6、骤：（1）求函数的定义域（2）判断函数的有界性、奇偶性、周期性（3）求函数的一阶导数，并解出驻点；求函数的二阶导数，解出二阶导数为零的点（4）用函数的驻点及二阶导数为零的点，将函数的定义域分成若干个区间，列出一个综合表，以综合判断函数的单调性、极值及曲线的凹凸性和拐点（包括凸增、凸减、凹增、凹减等）（5）判断曲线有无水平或垂直渐近线（若有的话，则求出之）（6）适当补充若干个辅助点，综合作出函数的图象。布置作业：P119:3(1)(2)(5).5.6.P124:1(单).2(单).补充：用微分法作函数y=

7、2-x-x3的图象。