生存模型的概念及生存模型数学

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1、第一章生存模型的概念及生存模型1.1生存模型1.1.1生存状态和生存模型一、生存状态从数学的角度来看，生存状态是一个简单的过程。这个过程具有以下的特征：1、存在两种状态：生存与死亡。2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者，也就是说我们可以说出他们的状态。3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。4、任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们生存或死亡概率的探讨而着手生存状态的研究。二、生存模型：是一类特殊随机变量的概率分布；是对生存过程建立的一个数学模型。假设一台设备从时刻t=0开始连续运行直至报废，用T表示该设备

2、从时刻t=0开始直至报废或失效的时间，则该设备在任意时刻t（t≥0）仍正常运行的概率Pr（T＞t）可以记为：（1.1.1）上式中显然有：（）T≥0（）S（0）=1（）S（t）是t的非增函数，且随机变量T为设备从t=0开始的“未来寿命”。S（t）为生存函数。1.1.2精算生存函数一、对于一个刚刚出生的个体（0岁）的未来生存时间可作为一个随机变量，我们用T0表示。定义随机变量T0的分布函数F0（t）为F0（t）=P（T0≤t）（1.1.2）F0（t）是一个正好0岁的人不晚于t岁死亡的概率。未来生存时间超过t年的概率就是S0（t），就是

3、生存函数或生存分布：S0（t）=P（T0＞t）=1-F0（t）（1.1.3）通常S0（t）可以表示为S（t）；F0（t）可以表示为F（t）。这是新生婴儿的生存模型和分布函数。二、对于一个年龄为x岁的人的的未来生存时间定义为Tx，随机变量Tx的分布函数记为F（t:x）。F（t;x）=P（Tx≤t）（1.1.4）F（t;x）是一个x岁的人不晚于x+t岁死亡的概率。一个年龄为x岁的人的未来生存时间超过t年的概率就是或S(t;x)，就是生存函数：S（t;x）=P（Tx＞t）=1-F（t;x）（1.1.5）S（x+t）=S（x）S（t;x）

4、（1.1.6）1.1.3生存函数的形式一、参数生存模型：S（t）实际运用中，用表格描述生存模型二、多个伴随变量的生存模型S（t；x1，x2，…，xm）1.1.4研究方法一、横向研究：适用大样本空间1、选择一个独立人群2、选取一个观察期二、纵向研究：1、确定一个特殊的人群2、对每个对象进行观察直至死亡1.2T的分布函数一、S（t）的性质由T决定的S(t)也称为生存分布函数，有S（0）=1，S（+∞）=0.令F（t）=Pr（T≤t），有F（t）==1-S（t）上式有：F（0）=0，F（+∞）=1二、对于连续型随机变量T，其概率密度函数

5、：（t≥0）从而有三、危险率（死力）六、中位数如果Pr（T＞y）=Pr（T≤y）=1/2，则称y为随机变量的中位数有S（y）=F（y）=½1.3参数生存模型举例:1.3.1均匀分布均匀分布的概率密度函数为其性质：F(x)abx0axb1f(x)1.3.2指数分布其生存分布函数为F(x)λx00x1f(x)例1.4对于指数分布，证明1.3.3Gompertz分布特征：1.3.4Makeham分布Weibull分布1.4条件度量和截尾分布1.4.1条件概率和密度如果某人已生存到x岁，他在n年后仍生存的概率Pr，我们将条件概率用nPx表

6、示，则：【例1-5】根据S（t;x）,求出所选取的x岁的人活到x+10岁，并在X+20岁前死亡的概率。1.4.2x的下截尾分布以生存到x岁为条件的生存函数，既那些超过x的X服从的分布，这样的分布称为在x处下截尾的X的分布。类似地，1.4.3双截尾分布S(xy＜X≤z)=F(xy＜X≤z)=f(xy＜X≤z)=λ(xy＜X≤z)=1yzx1.4.4中心死亡率中心死亡率：在年龄（x，x+1】上死亡率的条件度量。中心死亡率：在区间上危险率的加权平均值。一般地，nmx是在区间（x，x+n】上的平均危险率或中心死亡率。例１－６：若X服从指数

7、分布，证明：mx=-lnpx1.5随机变量的变换一、假设已知X随机变量的分布，若知Y=g（x），且知其是单调递增函数。求随机变量Y的概率分布。解：∵Y=g（x）；可以求得：1.6变换后随机变量的均值和方差如果已知随机变量X，而Y=g（x），如何求得E（Y）与Var（Y）。