《向量与矩阵的范数》ppt课件

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1、第四章向量与矩阵的范数定义：设是实数域（或复数域）上的维线性空间，对于中的任意一个向量按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为的范数，记为，并且要求范数满足下列运算条件：（1）非负性：当只有且仅有当（2）齐次性：为任意数。（3）三角不等式：对于中的任意两个向量都有例：在维线性空间中，对于任意的向量定义证明：都是上的范数，并且还有引理（Hoider不等式）：设则其中且。引理（Minkowski不等式）：设则其中实数。几种常用的范数定义：设向量，对任意的数，称为向量的范数。常用的范数：（1）1－范数（2）2－范数

2、也称为欧氏范数。（3）－范数定理：证明：令，则于是有另一方面故由此可知定义：设是维线性空间上定义的两种向量范数，如果存在两个与无关的正数使得定理：有限维线性空间上的任意两个向量范数都是等价的。利用向量范数可以去构造新的范数。例：设是上的向量范数，且，则由所定义的是上的向量范数。例：设数域上的维线性空间，为其一组基底，那么对于中的任意一个向量可唯一地表示成又设是上的向量范数，则由所定义的是上的向量范数。矩阵范数定义：对于任何一个矩阵，用表示按照某一确定法则与矩阵相对应的一个实数，且满足（1）非负性：当只有且仅有当（

3、2）齐次性：为任意复数。（3）三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵都有（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵，都有那么我们称是矩阵的范数。例1：对于任意，定义可以证明如此定义的的确为矩阵的范数。证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设，则例2：设矩阵，证明：是矩阵范数。证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设，那么因此为矩阵的范数。例3：对于任意，定义可以证明也是矩阵的范数。我们称此范数为矩阵的Fr

4、obenious范数。证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。设，则于是有例4：对于任意，定义证明如此定义的是矩阵的范数。证明：首先注意到这样一个基本事实，即由上一个例题可知此定义满足范数的性质。Frobenious范数的性质：（1）如果，那么（2）（3）对于任何阶酉矩阵与阶酉矩阵都有等式关于矩阵范数的等价性定理。定理：设是矩阵的任意两种范数，则总存在正数使得诱导范数定义：设是向量范数，是矩阵范数，如果对于任何矩阵与向量都有则称矩阵范数与向量

5、范数是相容的。例1：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的.证明:因为根据Hoider不等式可以得到于是有例2：设是向量的范数，则满足矩阵范数的定义，且是与向量范相容的矩阵范数。证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。设，那么因此的确满足矩阵范数的定义。最后证明与是相容的。由上面的结论可知这说明与是相容的。定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数所诱导的诱导范数或算子范数。由向量P--范数所诱导的矩阵范数称为矩阵P--范数。即常用的矩阵P

6、--范数为，和。定理：设，则（1）我们称此范数为矩阵的列和范数。（2）表示矩阵的第个特征值。我们称此范数为矩阵的谱范数。（3）我们称此范数为矩阵的行和范数。例1：设计算，，和。解：因为所以。练习：设或分别计算这两个矩阵的，，和。例2：证明：对于任何矩阵都有如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？定理：设是矩阵范数，则存在向量范数使得证明：对于任意的非零向量，定义向量范数，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且例：已知矩阵范数求与之相容的一个向量范数。解：取。设那么矩阵的谱半径及其性质定义：设，的个特征值为，我们称

7、为矩阵的谱半径。例1：设，那么这里是矩阵的任何一种范数。例2：设是一个正规矩阵，则证明：因为于是有例3：设是上的相容矩阵范数。证明：（1）（2）为可逆矩阵，为的特征值则有例5：如果，则均为可逆矩阵，且这里是矩阵的算子范数。特征值估计粗略估计圆盘定理（1）定理1(Schur)设的特征值为，则（2）（3）这里。并且当且仅当是正规矩阵时，等号成立。（1）的证明：设的Schur分解为，上三角阵的主对角元就是矩阵的特征值。所以根据F-范数的酉不变性，有（2）的证明：由于，因此在上述证明中，当且仅当是正规矩阵时，上三角阵为对

8、角矩阵，即因此等号都成立。（1）推论11(Hirsch)对的任意特征值，有（2）（3）（1）的证明：因此例1矩阵按推论11所得特征值的变化范围为带型区域：这个结果显然比相应的Gerschgorin区域差。定义2对方阵，称为矩阵的行盖尔（Gerschgorin）圆。称并集为矩阵的行盖尔（Gerschgorin）区域。这里类似地，可定义矩阵的列盖尔圆。定理3（Gerschgo