高中数学动点轨迹问题专题讲解

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1、15江西省上犹中学动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点的轨迹方程实质上是建立动点的坐标之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点是随另一个在已知曲线：上的动点的变化而变化，且

2、能用表示，即，，则将代入已知曲线，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率等），分别求出动点坐标与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（）已知、是定点，，动点满足，则动点的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2．（）设，，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是（A）（）（B）（）（C）（）（D

3、）（）3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4．P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是；5．已知圆C：内一点，圆C上一动点Q，AQ的垂直平1515江西省上犹中学分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为．6．△ABC的顶点为、，△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是；（）变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是；7．已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是．()8．抛物线的一组斜率

4、为的平行弦的中点的轨迹方程是．(（）)9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为．解法分析：解法1当直线的斜率存在时，设PQ所在直线方程为　与抛物线方程联立，　消去得　．设，，中点为，则有　消得．1515江西省上犹中学当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程．故所求轨迹方程为．解法2　设，，由　得，设中点为，当时，有，又，所以，，即．当时，易得弦的中点为，也满足所求方程．故所求轨迹方程为．10．过定点作直线交抛物线于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_________．

5、（二）解答题1．一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程．（定义法）2．过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点，连结交于点，求动点的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹．（交轨法）4．已知点G是△ABC的重心，，在轴上有一点M，满足，．1515江西省上犹中学（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围．解：（1）设，则由重心坐标公式可得．∵，点在轴上，∴　．∵，，∴　，即．故点的轨迹方程为（）．（直接法）

6、（2）设直线的方程为（），、，的中点为．由消，得．∴，即．①又，∴，∴．∵，∴，∴，即，∴，又由①式可得，∴且．∴且，解得且．故的取值范围是且．5．已知平面上两定点、，为一动点，满足．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（直接法）（Ⅱ）若A、B是轨迹上的两动点，且．过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值．1515江西省上犹中学解：(Ⅰ)设．由已知，，,．，……………………………………………3分∵，∴．整理，得．即动点的轨迹为抛物线，其方程为．6．已知O为坐标原点，点、，动点、、满足（），，，．求点M的轨迹W的方程．解：∵，，∴MN垂直平分AF．又，∴点M在

7、AE上，∴，，∴，∴点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，∴．∴点M的轨迹W的方程为（）．7．设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（1）求点的轨迹的方程；（定义法）（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由．1515江西省上犹中学解：（1）；（2）因为过轴上的点．若直线是轴，则两点是椭圆的顶点．，所以与重合，与四边形是矩形矛盾．故直线的斜率存在，设方程为，．由消得此时＞恒成立，且，，，所以四边形是平行四边形．若存在直线，使得四边形是矩形，则，即．，∴

8、．即．．，得．故存在直线：，使得四边形