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《概率论与数理统计 第五章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、定理1(切比雪夫定理)设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C.(i=1,2,...n),则对任意给定的ε>0,有证明:由于X1,X2,...,Xn相互独立,故再由切比雪夫不等式,可得第五章大数定律与中心极限定律§5.1大数定律当n→∞时,取极限就得到(1)式定理2(切比雪夫定理的特殊情况)设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变量序列,且具有相同的数学期望和方差:E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,(i=1,2,...)则对于给定的ε>0,有定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概率意义下的极限结论,
2、通常称为依概率收敛.一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意给定的ε>0,有limP{
3、Xn-a
4、<ε}=1则称该序列依概率收敛于a.定理2表明:当n很大时随机变量的算术平X=Σ/n在概率意义下接近于数学期望E()=μ.即表示在定理2的条件下,n个随机变量的算术平均值在n无限增大时,几乎变成一个常数.它反映了大量测量值的算术平均值的稳定性,这就从理论上肯定了用算术平均值代替理论均值的合理性.贝努里定理.它的叙述如下:设是n次重复独立对于任意给定的ε>0,有其中nA/n是频率,p是概率,即次数多时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.定理3即
5、定理3表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A的概率p.定理3以严格的数学形式表达了频率的稳定性.因此在实际应用中,当n很大时,我们可用事件的频率来代替概率.例1设X是抛一颗骰子所出现的点数，若给定X=1，2，实际计算，并验证切贝谢夫不等式成立。分析：因为X的概率函数例2在n重贝努里试验中，若知道每次试验A出现的概率为0.75试用切贝谢夫不等式求n.使A出现的频率在0.74到0.76之间的概率不少于0.9?分析:设n重贝努里试验A出现的次数为,服从二项分布n重贝努里试验A出现的频率为/n例4设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是0.7.而假定开关时间彼此
6、独立,估计夜晚同时开着灯数在6800和7200之间的概率?分析:令为夜晚同时开着灯的数目.它服从参n=100000,p=0.7的二项分布.用贝努里公式用切贝谢夫不等式估计可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度不高.为此我们研究下面的内容.§5.2中心极限定理在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的地位事实上遇到的大量随机变量都服从正态分布。自然会提出为什么正态分布如此广泛地存在，而且在概率论中占有重要地位。应该如何解释大量随机现象中这一客观规律性呢？李雅普夫证明：在某些非常一般的充分条件
7、下，独立随机变量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时是趋向正态分布的。此后林德伯格又成功地找到独立随机变量和的分布，当随机变量的个数无限增加时趋向正态分布的更一般的充分条件。概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的一般定理称为中心极限定理。定理5(独立同分布的中心极限定理)设相互独立的随机变量...具有相同的分布,且具有有限的数学期望和方差,E()=μ,D()=σ2≠0(k=1,2,..),则随机变量的分布函数Fn(y)满足smsmhnnXnXnkknkkn-=-=åå==11*)(XkXk定理6设随机变量ηn(n=1,2,...)服从参数为n,p(08、项分布,则对于任意x,恒有证明由于服从二项分布的随机变量ηn可看成n个相互独立,服从同一个(0-1)分布的随机变量X1,X2,...Xn之和,即ηn=∑Xi其中Xi(i=1,2,...,n)的分布律为P{Xi=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1)而E(Xi)=P,D(Xi)=P(1-P)(i=1,2,...,n),根据定理5(独立同分布定理)φ[(X-μ)/σ]~N(0,1)的概率密度函数定理6表明,正态分布也是二项分布的极限分布(二项分布的另一极限分布是泊松分布).当n充分大时,我们可利用定理6来计算二项分布的概率.例1对敌人某地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹
9、数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69.求100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率?分析:令第I次轰炸命中目标的次数.100次轰炸中命中目标次数应用中心极限定理服从正态分布期望值为200,方差为169,标准差为13二项分布以正态分布为极限例210部机器独立工作,每部停机的概率为0.2.求3部机器同时停机的概率?分析:机器停机是独立变量,且服从二项分布.(1)直接计算(2)用局部定理如果n大于50,则误差就不会产生.在上二节中我们计算它的概率为0.95.现在利用局部定理设
