第十六章 动力学基本方程、动量定理、动量矩定理

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1、第十六章动力学基本方程、动量定理、动量矩定理下一页第十六章动力学基本方程、动量定理、动量矩定理第一节动力学基本方程第二节动量定理第三节质心运动定理第四节动量矩定理第五节刚体定轴转动微分方程下一页上一页Fma=将动力学基本方程（）表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。1.直角坐标形式2.自然形式zzyyxxFdtzdmmaFdtydmmaFdtxdmma======222222FFx、Fy、Fz分别为在x、y、z轴上的投影；ax、ay、az分别为质点的加速度在x、y、z轴上的投影。2nnFvmmaFdtsdmma====rtt22FFτ、Fn分别为在切向和法向的投影下

2、一页上一页第一节动力学基本方程应用质点运动微分方程可以解决质点动力学两类基本问题：①已知质点的运动，求作用在质点上的力；②已知作用于质点上的力，求质点的运动。例1桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。0v②受力分析如图所示解：①选重物（抽象为质点）为研究对象下一页上一页③列微分方程jcos2GTlvm-=)cos(2lvgmT+=j下一页上一页¯¯®®Tvj)(,020maxmax0lvgmTTTvv+=®==时，当jktevdtdxv-==0得解：把活塞抽象为

3、质点例2液压减振器的活塞在获得初速度vo后作直线运动。活塞的阻力F正比于速度v，即，其中为比例系数。求活塞相对于液压缸的运动规律。vFm=m下一页上一页òò-==-=-=-=tvvkdtvdvmkkvdtdvvdtdvmFdtxdm0220)(mm或)1(0ktekvx--=解得dtevdxtktxòò-=000一、质点的动量定理1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。动量是矢量，方向与v相同。单位为kg·m/s。2.质点的动量定理：由动力学基本方程，得Fam=Fvmdtd=)(质点的动量对时间的导数等于作用于质点上的力。即为质点的动量定理。若，则常矢量，

4、质点的动量守恒。0=F=vm下一页上一页第二节动量定理二、质点系的动量定理1.质点系的质心及动量下一页上一页PvMc=或åå==iyicyixicxvmMvvmMvm求导，得åå==iiciicMyyMxmx2.质点系的动量定理投影形式)()(eyyexxFdtdpFdtdp==若质点系动量守恒。0)(=eF下一页上一页)(eiF式中，——质点系内各质点之间的相互作用力。即内力，——作用于第i个质点上的外力。)(iiF0)(=åiiF，则——质点系的动量定理)()(eeiiiFFdtPdvmP===åå设例3质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面，斜面上另放一质量为m的小三

5、角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，()0=exF=xP水平方向常量。rv小三角块相对大三角块速度为，ravvv+=则小三角块v设大三角块速度运动分析，下一页上一页由水平方向动量守恒及初始静止；则)(bamMmSmMmSrx-+=+=下一页上一页0)(=+-axmvvM0)()(=-+-ÞvvmvMrxmmMSSmmMvvrxrx+=Þ+=将cvMP=代入质点系动量定理，得质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用在质点系上的外力的矢量和，称为质点系的质心运动定理。投影形式xyFdtM2()()ececydFd

6、txdM==222常量，质心沿x方向速度不变；若则(),0=exF==cxcxva,0=常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。若则xc,00=cxv下一页上一页第三节质心运动定理例4质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。yalABx下一页上一页21212mmamlamMxmxiic++øöçèæ+==å解得212mmlms+=由于常量，故=='ccxx当人到B点时，小车

7、在位置''BAyalABxB’A’s下一页上一页l(21öæ)21'2mmlsamsamxc++-+øçè+-=()2121212122mmlsamlsammmamlam++-+øöçèæ+-=++øöçèæ+解:取整个电动机作为质点系研究，定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例5电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。求转子以角速度作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力